Преобразование фурье

В 1984 году мною был предложен алгоритм для быстрого преобразования Хартли. Разница во времени вычислений между быстрым преобразованием Хартли и быстрым преобразованием Фурье зависит от типа компьютера, а также языка и стиля программирования. Если эти факторы одинаковы и если при программировании не было сделано упущений, то программы для быстрого преобразования Хартли выполняются быстрее программ для быстрого преобразования Фурье. Хотя обе программы требуют одинакового времени для поиска данных, вычисления тригонометрических функций и выполнения других вспомогательных действий, время, непосредственно затрачиваемое на стадии преобразования Хартли, вдвое меньше того, которое требуется для преобразования Фурье.

Однако не сразу  выяснилось, что преобразование Хартли даёт ту же информацию, что и преобразование Фурье. Поэтому в первых программах, написанных для вычисления преобразования Хартли, присутствовал ещё один лишний шаг, обеспечивавший его перевод к более знакомой форме Фурье. Однако вскоре исследователи поняли, что интенсивности и фазы можно вывести непосредственно из преобразования Хартли, не прибегая к дополнительному шагу по переводу одного преобразования в другое. Дальнейшие размышления показали, что каждое из этих преобразований даёт для каждой частоты пару чисел, представляющих колебательный процесс с определёнными амплитудой и фазой.

Ещё одним фактором, препятствовавшим распространению  преобразования Хартли, было то, что описание физических явлений на основе преобразования Фурье было более естественным. Многие явления, в частности такие, как поведение простой системы под действием вибраций, как правило, описываются комплексной суммой синусоидальных функций, что как раз характерно для преобразования Фурье. По этой причине может показаться, что преобразования Фурье больше подходят для описания природных явлений.

На самом деле такая точка зрения скорее отражает специфические особенности нашего образования, нежели законов природы. В конце концов, когда мы измеряем физические величины, то имеем дело с действительными числами, а не с комплексными.

С появлением быстрого преобразования Хартли некоторые приложения быстрого преобразования Фурье утратили своё значение. Примером таких приложений является процедура удаления шума при воспроизведении музыки, записанной цифровым способом. Эти приложения требуют двух программ: одна из них переводит действительные функции в комплексную область Фурье, в то время как другая выполняет обратный переход от комплексных функций к действительным. Высокочастотный шум в цифровой музыкальной записи может быть устранён путём отфильтровывания фрагментов преобразования, полученного при помощи первой программы. Затем вторая программа переводит измененное таким образом преобразование обратно в музыкальный сигнал улучшенного качества. Хотя обе эти программы выполняются каждая со скоростью, соперничающей с быстрым преобразованием Хартли, одной программы, построенной по принципу Хартли, оказывается достаточно и для того, чтобы перевести действительную функцию в преобразование Хартли и вернуть это преобразование, после соответствующей фильтрации, опять к действительной функции. Как следствие, высвобождается и лишняя память, требовавшаяся для хранения сразу двух программ.

В самой общей формулировке можно сказать, что преобразования Фурье и Хартли применяются в тех областях, где изучаются колебательные процессы. Поэтому ясно, что сфера их применения очень широка.

Часто эти преобразования применяются и в биологии. Так, например, форма двойной спирали ДНК была открыта в 1962 году с использованием дифракции рентгеновских лучей в сочетании с анализом Фурье. Рентгеновские лучи фокусировались на кристалле волокон ДНК, и изображение, получаемое при дифракции излучения на молекулах ДНК, фиксировалось на пленке. Эта дифракционная картина давала информацию об амплитуде при применении преобразования Фурье к кристаллической структуре. Информация о фазе, которую невозможно было извлечь из одних только фотографий, выводилась путём сопоставления дифракционной картины ДНК с картинами, полученными при анализе сходных химических структур. По интенсивности рентгеновских лучей и фазовой информации, полученной из преобразования Фурье, биологи смогли восстановить кристаллическую структуру, т.е. исходную функцию. В последние годы изучения дифракции рентгеновских лучей в сочетании с подобным «обратным» анализом Фурье позволили определить структуру и многих других органических молекул, а также более сложных образований, в частности вирусов.

С помощью анализа  Фурье специалисты из Национального  управления по аэронавтике и исследованию космического пространства повышают чёткость изображений небесных тел, сфотографированных с космических аппаратов. Автоматические межпланетные станции и искусственные спутники Земли передают информацию на Землю в виде последовательностей радиоимпульсов. Компьютеры обрабатывают эти импульсы с помощью методов Фурье. При этом компьютер модулирует отдельные компоненты каждого преобразования, чтобы чётче выделить одни свойства и устранить другие, аналогично тому, как с помощью преобразования Фурье устраняется шум из сигнала музыкальной записи. В конечном итоге изменённые таким образом данные опять преобразуются к исходной форме, и тем самым восстанавливается изображение. При помощи описанного процесса можно резче сфокусировать изображение, отфильтровать туманный фон и отрегулировать контрастность.

Преобразование  Фурье играет также очень важную роль в физике плазмы и полупроводниковых материалов, микроволновой акустике, сейсмологии, океанографии, радиолокации и медицинских обследованиях. Среди многочисленных приложений в химии можно назвать использование преобразования Фурье в спектрометрическом анализе.

Анализ Фурье  очень помог мне, когда я работал  над проблемой построения двумерных  изображений. В 1956 году я наткнулся на теорему о «послойных проекциях», которая открывала путь для восстановления изображений по интегралам, вычисляемым на полосках, теперь это хорошо известная проблема в томографии. Позже я придумал «модифицированный алгоритм обратной проекции», в настоящее время широко применяемый в компьютерной рентгеновской томографии.

Я также интересовался  проблемой восстановления изображений, основанного на данных радиоастрономии. Желая локализовать источники радиоволн на солнечной поверхности, я применил методы, основанные на преобразовании Фурье, в конструкции сканирующего радиотелескопа, который ежедневно строил микроволновые температурные карты Солнца на протяжении 11 лет. Эти методы привели к созданию антенны, луч которой обладал лучшим разрешением, чем человеческий глаз. Впоследствии эта конструкция стала общепринятой в радиоантеннах. Карты солнечной поверхности получили высокую оценку специалистов НАСА, так как способствовали безопасности космонавтов, участвовавших в лунных экспедициях.

В других своих  работах я пользовался преобразованием  Хартли. Недавно мой коллега Дж. Вилласенор и я описали оптический метод получения преобразования Хартли. Этот метод позволяет кодировать фазу и амплитуду Фурье в едином действительном изображении. Нами было разработано устройство, строящее преобразование Хартли с использованием микроволнового излучения. В настоящее время я готовлю к публикации несколько статей по физике Солнца, в которых на методах Фурье основаны новые способы анализа данных по количеству солнечных пятен и толщине земных отложений грунта.

Благодаря широкому применению метода Фурье и сходных  с ним аналитических методов мы и сегодня можем повторить с полным основанием то, что лорд Кельвин сказал в 1867 году: «Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа, но и даёт нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики».

Литература