ПРезентация "Решение систем линейных уравнений"

 
 
 
 

Решение  систем линейных  уравнений 

Работа  на конкурс «Портфолио  ученика» 

            Ученицы 10 класса

            МОУ  Рощинской СОШ 

            «Образовательный  центр»

            Курлат Галины

 
 
 
 

Содержание: 

• Основные понятия
• Метод подстановки
• Метод алгебраического сложения
• Графический метод
• Правило Крамера
• Метод Гаусса
• Габриэль Крамер
• Карл Гаусс
• Конец

 
 
 
 

Основные понятия 

         

       Решением линейного уравнения с двумя переменными называют всякую пару чисел (x; y), которая удовлетворяет уравнению, т.е. обращает равенство с переменными ax+by+c=0 в верное числовое равенство. На первом месте всегда пишут x, на втором y.

      Пример:

    1. (2;3) – решение уравнения 5x+3y-19=0. В самом деле, – верное числовое неравенство.

    2. (1;2) не является решением уравнения 2x-3y+1=0.

    В самом деле,                                         – неверное числовое равенство (получается что -3=0). 

      Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида ax+by+c=0, где a, b, c – некоторые числа, а x, y – неизвестные переменные.

 
 
 
 

Метод  подстановки 

Алгоритм  решения системы двух уравнений  с двумя переменными методом  подстановки

• Выразить у через х из первого уравнения системы.
• Подставить полученное на первом шаге выражение вместо у во второе уравнение системы.
• Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
• Подставить найденное на третьем шаге значение х в выражение у через х, полученное на первом шаге.
• Записать ответ в виде пары значений (х;у), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

 
 
 
 

Пример  решения системы  уравнений методом  подстановки 

Из первого уравнения  системы получаем: у=3х-5.

Подставим найденное  выражение вместо у во второе  уравнение системы: 2х+(3х-5)-7=0

Решим полученное  уравнение: 2х+3х-5-7=0; 5х-12=0; 5х=12; х=      .

Подставим найденное  значение х в формулу у=3х-5:

У=3        - 5=      -5= 

Пара х=      , у=      - единственное  решение заданной системы. 

Ответ: (     ;      )

 
 
 
 

Метод  алгебраического  сложения 
 
 
 

     На предыдущем слайде мы рассмотрели решение системы методом подстановки. Но исключить у из рассмотрения можно было бы значительно проще – достаточно сложить оба уравнения системы (сложить уравнения – это значит по отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять).

 
 
 
 

Пример  решения систем  линейных уравнений  методом сложения 

Решить систему  уравнений: 
 

Вычтем второе уравнение  из первого: 
 

                                 2х+3у-5х-3у=-6;

                                 -3х=-6;

                                 х=2.

Подставим найденное  значение х=2в первое уравнение  данной системы, т.е. в уравнение 2х+3у=1:

2   2 + 3у  = 1;

3у=1-4;

3у=-3;

У=-1, пара х=2, у=-1 –  решение заданной системы.

Ответ: (2;-1)

 
 
 
 

Графический  способ(алгоритм) 

• Выразить у  через х в каждом уравнении.
• Построить в одной системе координат график каждого уравнения.
• Определить координаты точки пересечения.
• Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у).

 
 
 
 

Пример  решения системы  графическим способом  

1 

0 

1 

2 

10 

x 

4 

6 

10 

-2 

y 

у - х=3,

у+х=9; 

у=х+3,

у=9-х; 

Построим график

первого уравнения 

х 

у 

0 

3 

-3 

0 

у=х+3 

Построим график

второго уравнения 

у=9 - х 

х 

у 

0 

9 

9 

0 

У=9-х 

У=х+3 

Графики функций  пересекаются в точке с координатой (3;6)

Ответ: (3;6).

 
 
 
 

Метод  Крамера 

Системой однородных  линейных уравнений называется  система вида  
 
 
 

Ясно, что в этой  случае                       , т.к. все элементы одного из  столбцов в этих определителях  равны нулю.

Так как неизвестные  находятся по формулам                              , то в случае, когда Δ ≠ 0, система  имеет единственное нулевое решение  x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель  Δ ≠ 0, то система имеет единственное  решение. Если же Δ ≠ 0, то система  линейных однородных уравнений  имеет бесконечное множество  решений.

 
 
 
 

Примеры  решения методом  Крамера 

1. 
 
 
 
 
 
 
 

2. 

, а значит x=y=z=0.

 
 
 
 

Составим матрицу  из коэффициентов при неизвестных: 

Заменим столбец  коэффициента х на столбец  свободных  

Аналогично для  у: 

Ответ: 

Решить систему:

 
 
 
 

     Если определитель составленный из коэффициентов равен нулю, тогда система решений не имеет, или имеет бесконечное множество решений!  

Используя определитель  можно составлять уравнение и  находить его решение: 

Или преобразовывать  выражения:

 
 
 
 

Рассмотрим решение  системы с параметром: 

Решение: 

Система имеет единственное  решение, если             , т. е 

, 

,   

Если             ,                      -  система имеет бесконечное  множество решений. 

Если                 ,                  - система не имеет решений.

 
 
 
 

Габриель  Крамер (1704-1752) 

Габриель  Крамер родился 31 июля 1704 в семье 

франкоязычного  врача. С раннего  возраста 

показал  большие способности  в области математики.

Был  учеником и другом  Иоганна Бернулли. Издатель 

трудов  Иоганна и Якова  Бернулли, переписки 

Г. Лейбница с И. Бернулли. Учился и работал  в Женеве.

Основные  труды по высшей  алгебре и аналитической 

геометрии. Установил и опубликовал (1750г.) правила решения

  систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными

  коэффициентами (правило Крамера), заложил основы теории

определителей, но при этом  еще не пользовался  удобным