Приближенное вычисление левосторонней дробной производной Римана-Лиувилля

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет «Прикладная математика и механика»

Кафедра «Математического и прикладного анализа» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Отчет по курсовой работе

«Приближенное вычисление левосторонней дробной  производной

 Римана-Лиувилля.» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

студентка 4-го курса в/о

Иванченко Н.В. 

Проверила:

Шишкина Э.Л. 
 
 

Содержание 
 

Введение……………………………………………………………………………....3 

Основные  определения……………………………………………………………...4 

Определение дробной производной и интеграла  Грюнвальда-Летникова…….7 

Эквивалентность определений Грюнвальда-Летникова и Римана-Лиувилля…11 

Алгоритм  вычисления дробной производной  Римана-Лиувилля, основание на определение Грюнвальда-Летникова……………………………………………  13 

Вычисление  теплового потока…………………………………………………… 14 

Текст программы…………………………………………………………………...17 

Список  литературы…………………………………………………………………20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

     В последнее время в таких областях как теория вязкоупругости, электрохимия, теория процессов диффузии и др. появляются модели, сформулированные в терминах производных и интегралов дробного (не целого) порядка. Особый интерес представляют численные алгоритмы решения различных задач, содержащих дробные производные. В данной работе рассмотрен алгоритм приближенного вычисления дробных производных Римана-Лиувилля. Он основан на определении дробных производных Грюнвальда-Летникова и может применяться и для приближенного вычисления дробных производных Римана-Лиувилля, поскольку дробные производные Грюнвальда-Летникова и Римана-Лиувилля совпадают для некоторых классов функций. В качестве примера рассмотрена задача о нахождении интенсивности теплового потока, которая приводит к дробной производной порядка ½. Данная задача была рассмотрена в книге И. Подлюбного [1], где при получении численного решения был использован принцип “short memory” (принцип ограниченной памяти).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные  определения 

      Рассмотрим  отрезок вещественной оси .Нам потребуются следующие функциональные классы. 
 

Опр.1     
 
 
 

Опр.2.  Функция называется абсолютно непрерывной на  , если по любому что для любой конечной системы попарно непересекающихся отрезков ,   такой, что 
 

будет выполнено 
 

 Класс всех таких функций обозначается . 

Опр.3. Через , где обозначим класс функций , непрерывно дифференцируемых на до порядка , причем Заметим, что .

   Определим некоторые специальные функции, которые будут нами использоваться в дальнейшем. 

Опр.4.  Гамма-функцией называется интеграл Эйлера второго рода  
 

который сходится при всех , для которых .

   Здесь . На полуплоскость гамма-функция доопределяется с помощью аналитического продолжения этого интеграла.  

Опр.5. Бета-функцией называется интеграл Эйлера первого рода

.

Он выражается через гамма-функцию по формуле  

Опр.6. Биномиальные коэффициенты определяются по формуле 
 
 
 

Опр.7. Для функции , заданной на отрезке , каждое из выражений  
 
 
 

называется дробной  производной Римана-Лиувилля порядка , соответственно левосторонней и правосторонней. 
 

Опр.8. Пусть . Интегралы  
 
 
 

где  , называются интегралами дробного порядка . Первый из них называют иногда левосторонним, а второй – правосторонним. Данные интегралы принято называть дробными интегралами Римана-Лиувилля.

Для существования  производной Римана-Лиувилля достаточно, чтобы

дробные интегралы  определялись на функциях и существует почти всюду.

1. Преобразование Лапласа дробной производной Римана-Лиувилля.

Опр.9 Функцией-оригиналом будем называть любую действительную или комплексную функцию f(t) действительного аргумента t, , которая:

      1. удовлетворяет условию Гёльдера  всюду на оси  , кроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого рода, причем на каждом конечном интервале таких точек конечное число. Это означает, что для каждого (кроме указанных исключительных точек) существуют положительные постоянные A, и такие, что

для всех h, |h| .

2. возрастает не быстрее показательной функции, т.е. существуют такие постоянные M>0, s , что для всех

.

      Число s называется показателем роста . cм[1] Лавр Шабат

Функция F(s) комплексной переменной s, определенная формулой

                                                 (11)

называется преобразованием Лапласа функции или изображением функции .

      Если  функция  является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1, 2 и F(s) служит её изображением, то в любой точке , где непрерывна, справедливо равенство

                                                                        (12)

где интеграл берется  вдоль любой прямой Re s=a>s и понимается в смысле главного значения, т.е. как предел интеграла вдоль отрезка [a-ib, a+ib] при b .

      Формула (12) определяет обратное преобразование Лапласа.

      Если  функция  непрерывна при и является оригиналом, то преобразование Лапласа производной целого порядка n функции имеет вид

(13) 
где под понимается правое предельное значения  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Определение дробной производной и интеграла Грюнвальда-Летникова 

Рассмотрим  функцию  Ее первая производная имеет вид  
 

Применив  это определение дважды, получим 
 
 

Для третьей  производной имеем: 
 

Продолжая так  и далее, получим общую формулу: 
 
 

где – биномиальные коэффициенты.

      Введем  величину 
 

которая называется конечной разностью порядка п функции f(t)  
с шагом h и центром в точке t.

Если h > 0, то разность называется левосторонней, а если h < 0 правосторонней.

Производную порядка  п можно записать в виде 
 

      В определении (1) положим  тогда 
 
 

     Поскольку  

Рассмотрим теперь интеграл Римана который запишем как предел

интегральных  сумм с длинной частичного интервала  

Выберем = получим 

Для двойного интеграла будем иметь 

Для получения  общей формулы выпишем тройной  интеграл 
 

      Заметим, что коэффициенты строятся по правилу , где n-порядок интеграла. Таким образом, для n-кратного интеграла будем иметь 
 

     (2) 

Сравним формулы (1) и (2). В (1) коэффициент можно записать в виде  
 

И для (1)и (2) получим 

и 

Тогда формулы (1) и (2) можно объединить в одну 

где n-целое число произвольного знака.

Исходя  из (3) определим интегродифференцирование формулой

  
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Эквивалентность определений Грюнвальда-Летникова и Римана-Лиувилля 

Выясним для каких функций определение Римана-Лиувилля эквивалентно определению Грюнвальда-Летникова. Рассмотрим q < 0. Обозначим разность дробного интеграла Римана-Лиувилля и дробной производной Грюнвальда-Летникова функции f через А: 
 

Разобьем  сумму на две группы: Здесь К не зависит от N, но достаточно большое, чтобы выполнялось асимптотическое разложение (см. [2]) 

Получим 

Теперь, для q < -1 сумма слагаемых в первой скобке ограничена. Следовательно, если также ограничена для k из первой группы, то наличие множителя обеспечивает исчезновение первой суммы при . Исследуя три множителя второй суммы, заметим, что существенно меньше единицы если и что третий множитель стремится к нулю при Следовательно, если ограничена для k из второй группы, то каждое слагаемое второй суммы убывает как Поскольку во второй группе слагаемых меньше чем N, наличие множителя     обеспечивает стремление второй суммы к нулю.

Таким образом, если ограничена на и два определения для ограниченной функции идентичны для . Свойства производной Грюнвальда-Летникова

 

показывают, что оба определения эквивалентны для любого . При этом необходимо выбирать так чтобы . 

Алгоритм  вычисления дробной  производной Римана-Лиувилля, основание на определение Грюнвальда-Летникова. 

Рассмотрим  алгоритмы аппроксимации  для произвольного когда значение известно в равномерно расположенной точке в промежутке от 0 до изменения независимой переменной.