Проективный подход к решению задач на построение циркулем и линейкой точек пересечения прямой и алгебраической плоской линии второго пор

    

    3.1. Построение проективных  преобразований, переводящих  гиперболу и параболу  в эллипс

    3.1.1. Гипербола и парабола  как конические  сечения

    Рассмотрим  конус с вершиной в точке  S, направляющей которого является эллипс e, лежащий в плоскости b. Пересечем этот конус плоскостью a так, чтобы в сечении получилась фигура g - гипербола либо парабола.

    Рассмотрим  отображение f₁: a®b - центральное проектирование плоскости a на плоскость b с центром в точке S. Это отображение переводит фигуру g в эллипс e.

    Теперь  рассмотрим отображение f₂: b®a - параллельное проектирование плоскости b на плоскость a вдоль какой-нибудь прямой l, где l∦a,l∦b. При этом отображении образом эллипса e станет некоторый эллипс e', так как параллельная проекция является аффинным отображением (см. Лемму1).

    Заметим, что отображение f₂ биективно, а f₁ – нет. Превратим f₁ в биективное отображение, встав на проективную точку зрения, т.е. дополнив плоскости a и b их несобственными элементами. Тем самым мы превратим центральную проекцию евклидовой  плоскости a на евклидову плоскость b в перспективное отображение проективных плоскостей. Тогда композиция f₂◦f₁: a®a - проективное преобразование плоскости a, которое переводит фигуру g в эллипс e'. 

    3.1.2. Задание проективного  преобразования определенного  типа на плоскости

    Найдем  способ задания такого преобразования с помощью элементов плоскости a.

    Введем  следующие обозначения:

       S – как и выше, центр центрального проектирования;

       (SO) – направление параллельного проектирования f₂, где O∈a;

       g:= aÇb - неподвижная прямая в отображениях f₁ и f₂, а следовательно в их композиции  f₂◦f₁;

      l₁Ìb - образ несобственной прямой плоскости a при перспективном отображении f₁, т.е. линия пересечения плоскости b с плоскостью, параллельной плоскости a и проходящей через точку S;

      l=f₂(l₁) – образ прямой l₁ при параллельном проектировании f₂.

    Нетрудно  видеть, что прямая l  является образом несобственной прямой плоскости a при композиции  f₂◦f₁.

     Прежде, чем определить правило, по которому любой точке плоскости a ставится ее образ в композиции f₂◦f₁, выясним, как строить образ прямой в этой композиции. Таким образом, рассмотрим произвольную прямую mÌa и найдем ее образ m' в композиции f₂◦f_1.

    Сначала рассмотрим случай, когда прямая m не параллельна и не совпадает с прямой g. Обозначим M:=gÇm.

    Построим  f₂◦f₁(m). Найдем сначала образ прямой m при центральном проектировании f₁. Для этого через точку S и прямую m проведем плоскость (S, m) (такая плоскость существует и единственна, так как S∉a, а значит S∉m). Эта плоскость пересечет плоскость b по прямой m₁, потому что плоскости b и (S, m) имеют общую точку M и не совпадают.

    Теперь  найдем образ прямой m₁ при параллельном проектировании f₂ вдоль прямой (SO). Так как M∈g, т.е. M – неподвижная точка, то f₂(M)=M. Остается найти образ точки L=l₁Çm₁: f₂(L)=L'∈l, так как L∈l₁. Таким образом, m'= f₂◦f₁(m)=(ML').

    Рассмотрим  прямую (OL') и покажем, что (OL')//m. Во-первых, имеем

                                                    (OL')//(SL)                                 (*)

    как прямые, по которым плоскость, проходящая через параллельные прямые (SO) и (LL'), пересекает параллельные плоскости a и (S, l₁).

    Во-вторых,

                                                     (SL)//m                                    (**)

    как прямые, по которым плоскость (S,m) пересекает параллельные плоскости a и (S, l₁).

    Из (*) и (**) следует, что (OL')//m.

     Таким образом, получили следующее правило для  построения образа прямой m//g в композиции  f₂◦f₁.

      Алгоритм 1:

1. M:=gÇm – неподвижная точка
2. Через точку O проведем прямую s//m
3. L:=sÇl
4. m'=(LM) – образ прямой m в композиции f₂◦f_1.

    3.1.3. Свойства построенного  преобразования

    Прежде, чем указать алгоритм для построения любой точки плоскости, рассмотрим свойства самого преобразования f₂◦f₁, обозначив его через F.

    1^o.  F – проективное преобразование плоскости a в силу равенства         F= f₂◦f₁. В частности, F – биекция.

     2^o. Точка O – инвариантная точка преобразования F, прямая g – прямая его инвариантных точек.

    Доказательство:

    Покажем, что O – инвариантная точка, т.е. F(O)=O. f₁(O)=(SO) Çb =:O', f₂(O')=(O'S) Ça =(OS) Ça =O. Таким образом, F(O)= f₂◦f₁(O)=O.

    Поскольку любая точка G прямой g является общей точкой плоскостей a и b, то f₁(G)=G и f₂(G)=G, и потому F(G)= f₂◦f₁(G)=G.

                                                                                                         ⊠                                                                                                                                                                                       

    3^o. Отображение F является гиперболической гомологией.

    Доказательство  следует непосредственно из свойства 2^о и определения 7.

    4^o. Любая прямая, проходящая через точку O и не параллельная прямой g является инвариантной прямой отображения F.

    Доказательство  следует из свойств гомологии (см. выше).  

    3.1.4. Построение образа  точки

     Теперь построим образ произвольной точки A. Для этого рассмотрим ее как точку пересечения двух прямых. При этом выберем одну из прямых так, чтобы она проходила через точку O, и в качестве второй прямой – произвольную прямую m, проходящую через точку A, отличную от прямой (OA) и не параллельную прямой g.

    Найдем  образы этих прямых:

      F((OA))=(OA) – по свойству 4^o;

      F(m)=m' - см. Алгоритм 1.

    Тогда F(A)=F((OA) Çm); в силу свойства 1^o F((OA) Çm)= F((OA)) ÇF(m)= (OA) Çm'=A'. Следовательно, F(A)= (OA) Çm'=A'.

    Таким образом, получили правило для построения образа точки A в преобразовании F.

      Алгоритм 2:

1. A=(OA) Çm, где m – произвольная прямая, m∦l, m≠(OA);
2. m'=F(m) – см. Алгоритм 1;
3. A':=(OA) Çm'.

    Мы  уже знаем, как строить образ  любой прямой m, не параллельной и не совпадающей с прямой g, и образ любой точки A. Случай, когда прямая m совпадает с g тривиален, так как g – инвариантная прямая. Остается найти правило построения образа прямой m//g. Докажем, что образом прямой m в композиции f₂◦f₁ будет прямая m', параллельная прямой m. Построим m₁=f₁(m)=(S,m) Çb.  Так как g//m, то g//(S,m), а значит g//m₁( прямые g и m₁ лежат в одной плоскости b, а значит не скрещиваются). Таким образом, f₁(m)= m₁//m. Так как f₂ – аффинное отображение, то f₂◦f₁(m)= f₂(m₁)=m'//m. 

    3.1.5. Доказательство равенства  построенного и  искомого преобразований

    Рассмотрим  плоскость a, в которой лежат две параллельные прямые g и l и точка O, им не принадлежащая. Рассмотрим отображение F_o, заданное прямыми l и g и точкой O, такое что каждой точке А ставится в соответствие точка А' по Алгоритму 2. Покажем, что для отображения F_o найдутся такие отображения f₁ и f₂, что их композиция f₂◦f₁=F_o, где f₁ – центральная проекция плоскости a на некоторую плоскость b с центром в некоторой точке S, f₂ – параллельная проекция плоскости b на плоскость a вдоль прямой (SO). Для этого необходимо указать как выбрать точку S и плоскость b.