Возьмем произвольную точку S∉a. Построим плоскость b следующим образом. В плоскости a через точку О проведем прямую n, не параллельную l. Обозначим через N точку пересечения прямых l и n. В плоскости, проходящей через точку S  и параллельной плоскости a, через точку S проведем прямую n₁//n. На построенной прямой n₁ от точки S в полуплоскости, определяемой прямой (SO) и точкой N, отложим отрезок

    [SN₁]=[ON]. Через точку N₁ и прямую g проведем плоскость b.

      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Докажем, что для построенных точки  S и плоскости b композиция F=f₂◦f₁ совпадает с отображением F_o. Учитывая выше сказанное, для этого достаточно доказать, что:

1. прямая l является образом несобственной прямой плоскости a в этой композиции;
2. прямая g – прямая инвариантных точек;
3. точка S в отображении f₂ переходит в точку O.

    Доказательство:

1. Построим образ несобственной прямой плоскости a в отображении f₁. Нетрудно видеть, что это прямая l₁, такая что N₁∈ l₁, l₁//g. Покажем, что f₂(l₁)=l. Так как f₂ – аффинное отображение, то f₂(l₁)=l₂//g. Построим образ точки N₁, принадлежащей прямой l₁ в отображении f₂. Четырехугольник OSN₁N является параллелограммом (действительно, отрезки [SN₁] и [ON] параллельны и равны), значит (SO)//(NN₁). Таким образом, f₂(N₁)=N. Получили, что образ несобственной прямой плоскости a в отображении f₂◦f₁ – это прямая, параллельная прямой g и проходящая через точку N, т.е. прямая l.
2. Поскольку любая точка G прямой g является общей точкой плоскостей a и b, то f₁(G)=G и f₂(G)=G, и потому F(G)= f₂◦f₁(G)=G, и значит f₂◦f₁(g)=g.
3. f₂(S)=O, так как (SO) – направление параллельного проектирования.

                                                                                                                     ⊠     

    Таким образом, мы показали, что отображения  F и F_o совпадают. Следовательно, проективное преобразование F полностью определяется параллельными прямыми l и g и точкой  О, им не принадлежащей.    
 
 
 
 
 

2. Гипербола

    Пусть гипербола γ, задана своими асимптотами  a и b и вершинами A и B. Тогда Q=aÇb – центр гиперболы. 

    Зададим преобразование F с помощью прямых l и g  и точки О, которые определим следующим образом:

    1) g ⊥(AB), A∈g;

    2) прямая l параллельна прямой g и лежит между точками A и Q;

    3) O∈[QB].

      Через точку B проведем прямую n//g. Построим ее образ n'=F(n). Из результатов раздела 3.1.4. следует, что n'//g.

    Покажем, что при заданном преобразовании F образом данной гиперболы является эллипс.

    Введем  следующие обозначения:

    H_n – полуплоскость с границей n, содержащая ветвь данной гиперболы, касающуюся прямой n;

    H_g – полуплоскость с границей g, содержащая ветвь гиперболы, касающуюся прямой g.

    Рассмотрим  произвольную прямую d, проходящую через точку O и не параллельную n.

    Рассмотрим  лучи: λ_d:= H_nÇd и μ_d:= H_gÇd и точку K:=nÇd. Так как O∈d, то по свойствам 1^o и 4^o преобразования F имеем: F(K)=F(nÇd)=F(n) ÇF(d)=n'Çd=K'.

    Рассмотрим  точку P=gÇd. Так как P∈g, то по свойству 2^o : F(P)=P.

    Таким образом, получили, что образом множества  λ_d∪μ_d, являющегося проективным отрезком [KD_∞P], где D_∞ - несобственная точка прямой d, в силу Леммы 2 является проективный отрезок [K'D'P], где D'=F (D_∞)=dÇl.

     Так как d – произвольная прямая, проходящая через точку O, имеем, что образом множества H_n ∪H_g является часть плоскости U, заключенная между параллельными прямыми g и n'. Следовательно, образ гиперболы располагается в области U. По Теореме 2 имеем, что образом гиперболы при преобразовании F может являться либо гипербола, либо парабола, либо эллипс. Но ни гипербола, ни парабола не могут лежать в области U, ограниченной двумя параллельными прямыми. Значит, образом гиперболы является эллипс.

    Выберем точку O и прямую l так, чтобы образом гиперболы стала окружность. Для этого:

1. Прямую g выберем как и раньше, g⊥ (AB), A∈g.

    Введем  следующие обозначения: A₁:=gÇa, A₂:=gÇb, a':=F(a), b':=F(b). Прямую l и точку O будем выбирать так, чтобы прямые a' и b' были перпендикулярны прямой g.

2. Прямая l (образ несобственной прямой) параллельна g и находится от нее на расстоянии, равном половине длины отрезка [A₁A₂].
3. В качестве точки O выберем точку пересечения прямых, параллельных прямым a и b, и проходящих через точки T' и S', где T' и S' - точки пересечения прямой l и прямых a' и b' соответственно.

 

    Докажем, что образом гиперболы γ в  построенном отображении F является окружность.

    Найдем  сначала образы несобственных точек  гиперболы, т.е. точек ее касания с асимптотами a и b. Эти образы будут лежать на образе несобственной прямой и на прямых a' и b', т.е. это точки T' и S'. Нетрудно видеть, что эти точки будут точками касания эллипса ε с прямыми a' и b'.

    Заметим, что точка A (точка касания гиперболы γ с прямой g) при отображении F перейдет сама в себя, т.е. A – это точка касания эллипса с прямой g.

     Построим теперь образ точки B - точки касания гиперболы γ с прямой n. Рассмотрим точку B как точку пересечения прямой (OA) и прямой c//a. Тогда B'=F(B)=c'Ç(OA), где c'=F(c).

    Построим  прямую c':

1. C:=cÇg;
2. c_o//c, O∈c_o;
3. c_oÇl=T' – это следует из построения точки O;
4. прямая (CT')=c' – искомая.

    Таким образом, B'=c'Ç(OA). Докажем теперь, что расстояние от точки B до прямой l равно половине отрезка [T'S'].

    Введем обозначение E:=(OA)Çl. Следовательно, надо доказать, что [B'E]=[T'E]. Пусть B₂:=nÇb'.

    Четырехугольник CBB₂A₁ – параллелограмм (по определению, так как c//a, g//n). Тогда [CA₁]=[BB₂].

    Рассмотрим  прямоугольный треугольник CT'A₁ (∠A₁=90^o), в нем [CA₁]=[BB₂]=[T'S']/2=[A₁T']. Тогда ∠T'CA₁=∠CT'A₁=45^o. Следовательно, ∠B'T'E=45^o.

    Тогда треугольник B'T'E – прямоугольный равнобедренный, значит [B'E]=[T'E]=[T'S']/2.

    Заметим, что прямая (AB') – ось симметрии эллипса, так как точка касания T' эллипса и прямой a' симметрична точке касания S' эллипса и прямой b', и касательная a' симметрична касательной b' относительно прямой (AB'). Значит, отрезок [AB'] – ось эллипса. Следовательно, отрезок [T'S'] – вторая ось эллипса, так как (T'S')⊥(AB') и E – середина отрезка [T'S'].

    Но  [T'S']=[AB'], т.е. оси эллипса равны, значит эллипс является окружностью.

    Следовательно, при выбранном построении отображения  F образом гиперболы γ является окружность. 
 
 
 
 
 
 
 

    Построение.

    Выполним  построение точек пересечения данной прямой m и данной гиперболы γ, выбрав прямые l, g и точку O так , как было сказано раньше.

1. E=(OA) Çl
2. окружность ω(E, ), где /T'S'/- длина мнимой оси гиперболы([1, стр.79])
3. m'=F(m)- смотри Алгоритм 1
4. x', y':= ωÇm'
5. X:=(OX') Çm, Y:=(OY') Çm

    X, Y – искомые точки.

      
 

3. Парабола

    Пусть дана парабола π, заданная фокусом  O и директрисой p. Пусть V – вершина параболы. Зададим преобразование F с помощью инвариантной точки O, прямой l, параллельной p и проходящей через точку O, и прямой g, параллельной p, причем расстояние от точки V до прямой g равно фокальному параметру, т.е. расстоянию между фокусом и директрисой.

      Покажем,  что образом параболы при таком  преобразовании является окружность. Рассмотрим прямую c, параллельную директрисе p и проходящую через фокус O. Обозначим через A и B точки пересечения параболы π с прямой c. Пусть P – точка пересечения прямой p и прямой (OV). Докажем, что прямые (AP) и (BP) являются касательными к параболе, проведенными в точках A и B.