Производная

     Тема    ПРОИЗВОДНАЯ 

         Лекция  8

     §1. Задачи, приводящие к понятию производной

     I Задача о касательной

      Определение. Касательной к линии L в ее точке М₀ называется предельное положение секущей M₀M, когда точка M вдоль линии L стремится произвольным образом к совпадению с точкой M₀.

      Чтобы  придать математическую строгость  этому определению, будем считать, что линия L – это график некоторой функции .

 Пусть – фиксированная точка графика, а –текущая точка. Обозначим . Стремление точки M к М₀ равносильно или . Через точку М₀ проходит много прямых, все они отличаются друг от друга угловыми коэффициентами. Касательная к графику в точке М₀ – это та прямая, угловой коэффициент которой есть предел углового коэффициента

секущей M₀M  при : 

   

     II Задача о скорости

      Пусть по прямой, на которой выбраны начало отсчета, единица измерения и направление, движется точка по закону ( – это координата точки на прямой в момент времени t ). Важной характеристикой движения является скорость. Для равномерного движения (т.е. движения с постоянной скоростью) можно взять произвольный промежуток времени и разделить пройденный путь на длительность промежутка времени, т.е. на . Именно потому, что скорость постоянная, полученный ответ не будет зависеть ни от , ни от .

В общем случае движения с переменной скоростью отношение есть не что иное как средняя скорость движения за промежуток . Средняя скорость тем лучше характеризует движение, чем меньше длительность . Устремляя к нулю, мы и получим мгновенную скорость .

      Замечание. Две различные задачи, рассмотренные выше, привели в процессе решения к одному и тому же результату – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. Имеется много задач в самой математике и в ее приложениях, которые приводят к необходимости вычисления таких пределов. 
 

     §2. Определение и смысл производной

      Рассмотрим  функцию  , определенную в точке и в некоторой ее окрестности. Придадим аргументу x приращение , не выводящее аргумент за пределы окрестности. Функция получит приращение .

      Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при (если этот предел существует) обозначается и называется производной функции по переменной в x точке x₀.

      Итак, по определению

     

.

     Из  определения следует, что производная  – это число. Однако чаще всего  оказывается, что это число можно вычислить не только в одной точке x₀, а во всех точках некоторого интервала. Тем самым на этом интервале определяется некоторая новая функция, которая тоже называется производной функции и обозначается: . Кроме этих обозначений используются и другие:

             – производная как функция  (читается “дэ игрек по дэ икс”),

             – производная в фиксированной  точке x₀.

      Сравнивая результаты, полученные в §1, с определением производной, можно придать производной смысл:

      1) если  – закон движения, то ;

      2) – это угловой коэффициент (тангенс угла наклона к оси Ox) касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀.

      Используя 2) легко написать уравнение касательной:

     

и нормали, т.е. прямой, проходящей через точку  касания перпендикулярно касательной:

     

.

      Пример. Вычислить (по определению) производную функции .

      Замечание 1. Производную удобно понимать как скорость изменения функции относительно аргумента x.

     Замечание 2. Отношение приращения функции к приращению аргумента называют разностным отношением функции. 
 

     §3. Бесконечные и односторонние производные

     I  Бесконечные производные

      Определение 1.  Говорят, что функция имеет в точке x₀ бесконечную производную, если

     

.

При этом пишут  или .

      Пример 1. , :

     

.

     II Односторонние производные

      Определение 2. Правая и левая производные функции в точке x₀, определяются равенствами:

     

   и  .

     Из  общих теорем о пределах можно получить такую теорему.

     Теорема 1. Функция имеет в точке x₀ производную тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке равные друг другу односторонние производные.

     Пример 2. Для функции найти правую и левую производную в нуле.

      ,

      .

     Так как  , то не существует.

     Следующая теорема позволяет в некоторых  случаях упростить вычисление односторонних  производных.

     Теорема 2. Пусть функция имеет в интервале конечную производную , причем, существует (конечный или нет) . Тогда в точке x₀ существует правая производная и .

     Аналогичное утверждение имеет место и  для левой производной.

     В §2 была вычислена производная функции для : . Результат примера 1 ( ) с помощью теоремы 2 получается моментально:

     

.

     Аналогично  получается и  . Совпадение односторонних производных означает, что и .

     Замечание. Если у функции существуют конечные, не равные друг другу производные и , то у графика функции имеются не совпадающие правая и левая касательные в точке . Такая точка графика называется угловой. Если же производная (хотя бы односторонняя) равна +¥ или , то это означает, что у графика имеется вертикальная касательная. 

     §4. Дифференцируемость функции

     Определение. Говорят, что функция дифференцируема в точке x₀, если ее приращение можно представить в виде

     

 (1)

где  A – некоторое число, не зависящее от  .

     Теорема 1. Для того, чтобы функция , была дифференцируемой в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

     Доказательство. Необходимость. Пусть дифференцируема. Разделим обе части равенства (1) на :

     

.

Переходя  к пределу при  , получим

     

,

т.е. в  точке x₀ существует производная и она равна A: .

     Достаточность. Пусть существует конечная производная .

Тогда и, следовательно,

     

.

     В этом соотношении нетрудно увидеть  равенство (1). Теорема доказана.

     Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование  конечной производной – понятия  равносильные.

      Формулу

     

называют  формулой бесконечно малых приращений.

     Между понятиями дифференцируемости и  непрерывности существует связь, устанавливаемая  следующей теоремой.

     Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке x₀, то она и непрерывна в этой точке.

     Действительно из формулы (1) следует, что , а это и есть одно из определений непрерывности.

     Естественно возникает вопрос о том, справедливо  ли утверждение, обратное теореме 2, т.е. “непрерывная функция дифференцируема”. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ: существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не дифференцируемые в данной точке. Примером может служить функция из примера 2 §3: . Она непрерывна в нуле, но не существует.

     Приведем еще один пример такой функции.

     Пример 1. 

     Данная  функция – неэлементарная, возможная  точка разрыва  (в этой точке одно элементарное выражение меняется на другое). Но

     

,

следовательно, непрерывна в точке . Найдем производную функции в нуле (по определению!):

     

.

Но нам  уже известно, что, когда аргумент синуса стремится в ¥, синус предела не имеет. Итак, не существует, т.е. недифференцируема в нуле.

     Отметим, что математиками построены примеры  функций, непрерывных на некотором  промежутке, но не имеющих производной  ни в одной точке этого промежутка. 
 

         Лекция  9

     §5.  Основные правила дифференцирования

     I. Если , то (производная постоянной функции равна 0).

     II. Если , а – дифференцируема в точке x, то (постоянный множитель можно вынести за знак производной).