Автор: Пользователь скрыл имя, 20 Октября 2011 в 00:14, лекция
Определение. Касательной к линии L в ее точке М0 называется предельное положение секущей M0M, когда точка M вдоль линии L стремится произвольным образом к совпадению с точкой M0.
Очевидно, что при и . Правая часть последнего равенства имеет при предел (по условию теоремы), но тогда и левая часть имеет тот же самый предел.
Замечание 1. Аналогичное утверждение имеет место и для левого предела, а также для пределов на бесконечности, т.е. при .
Пример 1. Для . Этим пределом доказано, наконец, соотношение , то есть при ( ).
Замечание 2. Если производные и удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции и , то правило Бернулли-Лопиталя можно применить повторно.
Пример 2. .
Нетрудно заметить, что
Другими словами, или при .
Замечание 3. Правило Бернулли-Лопиталя можно применять только, когда предел отношения производных существует. Например,
но не существует. Этот пример показывает, что из не-существования нельзя делать вывод о .
Замечание 4. Существуют ситуации, в которых применение правила Бернулли-Лопиталя ничего не дает.
Пример 3. .
Еще одно применение правила вернет нас к исходному пределу.
III Другие виды неопределенностей.
Еще раз напомним, что правило Бернулли-Лопиталя применимо лишь к неопределенностям вида и . Все остальные неопределенности необходимо сводить к одной из этих двух путем алгебраических преобразований.
А) . Так как , то эту неопределенность можно свести к или .
Пример 4. Для :
.
Заметим,
что, если иначе преобразовать
B) . Так как ,то данная неопреде-ленность сводится к виду . Часто, впрочем, того же удается достигнуть проще.
Пример 5.
Вычисления
можно упростить, если перед первым
применением правила
.
С) , , . Так как (основное логарифмическое тождество) и (непрерывность показательной функции), то неопределенности этих типов сводятся к неопределенности вида .
Пример 6. (смотри пример 4).
Пример 7.
(смотри пример 1).
Замечание 5. Раскрывая неопределенности по правилу Бернулли-Лопиталя, следует использовать и другие методы вычисления пределов: эквивалентности, замена переменной и т.д.
Пример 8.
(смотри пример 2).