Разложение на множители

Кубанский Государственный университет 
 
 
 
 
 
 
 

Реферат 

Тема: “Разработка фрагмента методики обучения по теме:

«Разложение на множители»” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                         Выполнила студентка

                                                                                   4 курса 43 группы

                                                                                            Факультета математики 

                                                                                           и компьютерных наук

                                                                           Бойко Юлия

                                                                                Преподаватель:

                                                                            Макаровская 

                                                                                          Татьяна Грегорьевна 
 
 
 
 
 

Краснодар 2010 год

Содержание 

1. Характеристика  фрагмента методики обучения по теме:

   “Разложение на множители” 

2. Теория

 

3. Практика

 

4. Задачи 

 

5. Более сложные  задачи

 

6. Заключение

 

7. Список  использованой литературы

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---
 

Тема : Разложение на множители 

Цель:  

- формировать  умение рефлексировать, анализировать, планировать свою деятельность   через применение известных правил и формул; 

- реализовывать знания и умения для выполнения заданий повышенной сложности; 

- воспитывать  интерес к предмету. 

Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний, урок – практикум 

Методы  обучения: наглядный, частично – поисковый, практический 

Формы организации: коллективная, групповая, индивидуальная 

План  фрагмента методики обучения:

1. Теория
2. Практика
3. Задачи
4. Более сложные задания

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.ТЕОРИЯ 

Разложение  многочлена на множители – это представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов 

 Проведем  классификацию данных многочленов  по способу разложения на множдители: 

Метод разложения на множители: 

1. Вынесение общего множителя за скобки
2. С помощью формул сокращенного умножения
3. Способ группировки

 
 
 

Вынесение общего множителя  за скобки 

Из каждого  слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.

Таким общим  множителем может быть не только одночлен, но и многочлен. 

Применение  формул сокращенного умножения 

Здесь группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая  обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.

а2 + 2аb + b2 = (а + b)2

а2 - 2аb + b2  = (а - b)2

а2 - b2  = (а – b)(а + b)

а3 + b3 = (а + b)(а2 - аb + b2)

а3 - b3 = (а - b)(а2 + аb + b2) 

Способ  группировки 

 

Бывает, что члены  многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Чтобы разложить  многочлен на множители способом группировки, нужно:

1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель
2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки
3. Вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки.

 
 
 

Провести  классификацию данных многочленов по способу  разложения на множители.

   

                                                                                                 

20х3у2 + 4х2у                                      15а3b + 3а2b3

а4 –b8                                                  а2 + аb – 5а - 5b

2bх – 3ау - 6bу + ах                         2аn - 5bm - 10bn + аm

27b3 +а6                                             3а2 + 3аb – 7а - 7b

Х2 + 6х + 9                                        49m4 – 25п2

b(а +5) – с(а + 5)                             2у(х – 5) + х(х – 5) 
 

ОТВЕТЫ:

Вынесение общего множителя за скобки:множителя за скобки 

20х3у2 +4х2у                  

b(а +5) - с(а +5)            

15а3b +3а2b3                 

2у(х – 5) +х(х – 5)           

Формулы сокращенного умножения: 

а4 – b8                              

27b3 + а6                       

х2 + 6х + 9                      

49m4 - 25n2            

Способ группировки: 

2bх -3ау -6bу + ах

а2 + аb – 5а -5b

2аn -5bm -10bn + аm

3а2 +3аb -7а -7b

Метод выделения полного  квадрата 

Многочлен дополняется  путем прибавления к нему некоторого слагаемого. Чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое. 

Пример: x²-10x+24=                       Приемы:

= (x²-10x+25)-25+24 =                    - дополним многочлен слагаемым 25 и отнимем его;

= (x-5)²-1 =                                      - выделим полный квадрат;

= (x-5-1)(x-5+1) = (x-6)(x-4)          - применили формулу сокращенного умножения. 
 
 

Комбинация различных приемов при разложении многочленов на множители 

Пример 1: 5x²-45                                          Приемы:

Решение: 5x²-45 = 5(x²-9) =                        - вынесение общего множителя;

                             = 5(x-3)(x+3)                   - использование формул                              сокращенного умножения. 
 

Пример 2: y³-3y²+6y-8           

Решение: y³-3y²+6y-8 =                      Приемы:

= (y³-8)-(3y²-6y) =                                - группировка;

= (y-2)(y²+2y+4)-3y(y-2) =                  - формула сокращенного умножения;

= (y-2)(y²+2y+4-3y) =                          - вынесение общего множителя за скобки

= (y-2)(y²-y+4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.ПРАКТИКА 

Вынесение общего множителя за скобки

Пример:

3а  + 12b = 3(а + 4 b)

2у(х  - 5) + х(х – 5) = (х  – 5)(2у + х) 

С помощью формул сокращенного умножения

Пример:

4х2 + 12ху + 9у2 = (2х  + 3у)2

125а3  – 64х3 = (5а –  4х)(25а2 + 20ах + 16х2)

49х4у6 - 0,01а2 = (7х2у3  – 0,1а) (7х2у3 + 0,1а) 

Способ группировки

Пример:

3а2 +3аb – 7а - 7b = (3а2 + 3аb) – (7а + 7b) = 3а(а + b) – 7(а + b) = (а + b)(3а – 7)  
 

Порядок разложения многочлена на множители 
 

• Вынести общий  множитель за скобку (если он есть)

 

• Попробовать разложить многочлен на множители  по формулам сокращенного умножения

 

• Попытаться  применить способ группировки 

          (если предыдущие способы не привели к цели) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.ЗАДАЧИ 

1. Задания первого  уровня

 

2. Задания второго  уровня

 

3. Задания третьего уровня

 
 

Задания первого уровня

Закончите разложение на множители:

1. 7а2 – 28=7(а2 – 4)=
2. - 2b2 + 18= -2(b2  - 9)=
3. 3а2 + 6а + 3= 3(а2 +2а +1)=
4. - х2 +4х - 4= - (х2 - 4х +4)=
5. с2 - b2 + 8с +8b =(с2 - b2) + (8с+8b)=(с – b)(с + b) +8(с + b)=
6. х2 – у2 – 3х – 3у=(х2 – у2) – (3х +3у)=

 

Ответы:

1. 7(а – 2)(а +2)
2. - 2(b – 3)(b + 3)
3. 3(а +1)2
4. - (х – 2)2
5. (с + b)(с – b + 8)
6. (х – у)(х + у) – 3(х + у)=(х +у)(х – у – 3)

 

Задания второго уровня

Разложите на множители:

1. ах2 – ау2
2. у6 – у4
3. 4а2b – 8аb +4b
4. - 10х2 +40ах – 40а2
5. х2 – 2ху +у2 – 6х +6у
6. 4а2 +4аb + b2 +12а +6b

 

Ответы:

1. а(х – у)(х +у)
2. (у3 – у2)(у3 + у2)
3. 4b(а – 1)2
4. - 10(х – 2а)2
5. (х – у)(х – у – 6)
6. (2а + b) (2а + b +6)

 
 

Задания третьего уровня