Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Оглавление

   

1.   Решение простейших  уравнений.

Уравнения типа sinх (cosх) = 0, sinх (cosх) = ± 1, tgх (ctgх) = 0, решаются с помощью тригонометрического круга.

 

Алгоритм

Пункт 1. Привести угол в стандартный вид.

 Пункт 2. Определить, при каком значении диаметрального угла весь угол равен данному значению (0; ± 1);

Пункт 3. Определить через оборот или пол – оборота  это значение повторится;

Пункт 4. Записать весь угол равен значению, определенному в пункте 2 плюс 2pn, если значение повторяется через целый оборот, или pn, если повторяется через пол – оборота;

Пункт 5. Найти  х.

Под стандартным  углом понимается угол с положительным  неизвестным.

Примеры. Решить уравнения:

1) sin2х = 0

2х  = pn, где n ÎZ;

х = p/2n

 

2х  = pn т. к. синус равен 0 в нуле и через пол – оборота при p, т. е. получаем

0 + pn = pn.

2)  sin(p/3 - х) = 1

Чтобы привести угол в стандартный вид, надо вынести минус за знак синуса.

- sin(х -p/3) = 1;

   sin(х -p/3) = - 1;

Весь  угол х -p/3.       Синус равен - 1 при угле равном 3p/2 или - p/2 и повторяется через целый оборот. Принято использовать - p/2.

х - p/3 = -p/2 + 2pn , где n Î Z .

х =  -p/2 +p/3 + 2pn;

х = -p/6 + 2pn .

Ответ: -p/6 + 2pn, где n ÎZ .

3)   cos (p/4 -2х)  - 1 = 0.    Т. к. у = cos х - функция четная, то

       cos (p/4 -2х)  = cos (2х - p/4) .

       cos (2х - p/4) = 1,           2х - p/4 = 2pn, n ÎZ ,

       2х = p/4 + 2pn,                х = p/8 + pn .   

Ответ: p/8 + pn, где n ÎZ .

Ключевые  слова.

Если уравнение простейшее, то решение смотреть по окружности.

2.  Общий вид решения  тригонометрических уравнений.

sinх = а                                                                           sinх = а                                                       

Для а > 0                                                                       Для а < 0                                                               

х = ( - 1)ⁿ arcsina  + pn , где n ÎZ .               х = ( - 1)^{к +1} arcsin½a½  + pк , где к ÎZ .

cosх = а                                                                           cosх = а                                                       

Для а > 0                                                                       Для а < 0

x = ± arccosa +2pn, где n ÎZ .                       х = ±(p - arccos½a½ ) + 2pn , где n ÎZ .

tgх = а                                                                           tgх = а                                                       

Для а > 0                                                                       Для а < 0

 х = arctgа + pn, где n ÎZ .                                х = - arctg½а½ + pn, где n ÎZ .                                                                 

 сtgх = а                                                                           сtgх = а                                                       

Для а > 0                                                                       Для а < 0

 х = arcсtgа + pn, где n ÎZ .                                х =  p - arсctg½а½ + pn, где n ÎZ . 

 

Запоминание. Ключевые слова.

1. У косинуса прибавляем 2pn , у остальных   pn;
2. У синуса  ( - 1)ⁿ ;  у косинуса  ±, у тангенса, котангенса  arc.
3. Для а отрицательных: у синуса  k +1; у косинуса плюс, минус ( p - arc...), у тангенса минус arc... , у котангенса p - arc...                                                                 

 Алгоритм.

Пункт 1. Привести угол в стандартный  вид;

Пункт 2. Выразить sin, cos, tg, ctg;

Пункт 3. Записать соответствующую  формулу решения для всего  угла, проговаривая: «Уравнение вида ... , весь угол равен...»;

Пункт 4. Найти неизвестное.

Примеры. Решить уравнения:

1. sin2х = 1/2 ,   (уравнение синуса, весь угол 2х равен ( - 1)ⁿ…

2х =  ( - 1)ⁿ arcsin1/2  + pn , где n ÎZ .

2х =  ( - 1)ⁿ p/6 + pn ,

х =  ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2.         Ответ: ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2 , где n ÎZ .

2. 3tg(p/3 - х) = ,

Выполняем пункты 1, 2:         -3tg(х - p/3) = ,       tg(х - p/3) = - ,

Выполняем пункт 3:                х - p/3 = arctg(- ) + pn , где n ÎZ .

х - p/3 = - arctg + pn,        х - p/3 = -p/6 + pn ,

х = p/3 - p/6 + pn ,                     х = p/6 + pn

Ответ: p/6 + pn , где n ÎZ .

3. 2cosх/2 - 1 = 0,

cosх/2 = 1/2,

х/2 = ± arccos1/2 +2pn , где n ÎZ,          х/2 = ± p/3 + 2pn ,

х = ± 2p/3 + 4pn .      ( на 2 надо умножить,  крест на крест)

Ответ: ± 2p/3 + 4pn, где n ÎZ .

3.   Виды уравнений.

3.1  Уравнения,  сводящиеся к квадратным.

Основные элементы:

- функция одна или можно привести к одной функции;

- степени разнятся в два раза.

Решается путем замены переменной.  При замене переменной, указать область  ее значений.

Пример.

а) 2sin²х  - 5sinх + 3 = 0.

Пусть sinх = t,   ½t½ £ 1,т. к. ½sinх½ £ 1             2t² - 5t + 3 = 0,

D = 25 - 24 = 1

t_1,2 = - посторонний корень.

   sinх = 1,  х =  p/2 + 2pn , где n Î Z .

б)   4(cos²х + cos 2х) + 3sin(270° + х) = 2.

Необходимо привести выражение к одной функции, применив формулу двойного угла для косинуса и формулы приведения.

4(2cos²х - sin² х) -3cosх = 2,

8cos²х -4 sin² х -3cosх = 2,

Т. к.  sin²х = 1 - cos²х , получим: 8cos²х -4 + 4 cos²х -3cosх = 2,

12cos²х  - 3cosх - 6 = 0,       4cos²х  - cosх - 2 = 0, 

Пусть cosх = t,   ½t½ £ 1,т. к. ½cosх½ £ 1             4t² - t - 2 = 0,

D = 1 + 32 = 33,

t_1,2 =

cosх =                              х = ± arccos( + 2pn , где n Î Z .

cosх =                             х = ± arccos( + 2pn , где n Î Z .

Ответ: ±(p - arccos( + 2pn ;     ± arccos( + 2pn , где n Î Z .

3.2  Однородные  уравнения.

Основные элементы:

- углы одинаковые;

- функций - две;

- степень одинаковая;

- свободный член равен нулю.

Решаются путем  почленного деления на одну из функций, отличную от нуля, в большей степени, далее - замена.

Примеры.

а) 3cos²х - 2sinхcosх - sin²х = 0.

Анализ: углы одинаковые; функций две (sinх  и cosх); степень вторая, т. к. степень произведения считается как сумма степеней множителей ( 1 + 1 = 2);

свободный член равен нулю - уравнение однородное.

Разделим  почлено на cos²х, доказав, что cosх ¹ 0.

Пусть cosх = 0, тогда sin ²х = 1, следовательно, уравнение не имеет решения.

  3cos²х - 2sinхcosх - sin²х = 0. ½: cos²х  ¹ 0.

- tg²х - 2tgх + 3 = 0,                              tg²х + 2tgх - 3 = 0,                    

 Пусть  tgх  = t, тогда               t² + 2t - 3 = 0,

  t ₁ = - 3;   t₂ =1  по теореме обратной теореме Виета.

tgх = -3, х = arctg(-3) + pn , где n ÎZ .       х = -  arctg3 + pn .   

tgх = 1, х = arctg1 + pn , где n ÎZ   х = p/4 + pn .

Ответ: -  arctg3 + pn, p/4 + pn, где n ÎZ .

б) 10sin² 2х - 6sin4х - 11cos²2х = 1

Так как в однородном уравнении свободный член равен нулю, нужно представить 1 в виде sin² 2х + cos²2х.

Используя формулу  двойного угла для синуса, получим:

10sin² 2х - 12sin2хcos2х - 11cos²2х = sin² 2х + cos²2х,

9sin² 2х - 12sin2хcos2х - 12cos²2х = 0,

3sin² 2х - 4sin2хcos2х - 4cos²2х = 0 ½: cos²х  ¹ 0,

Пусть cosх = 0, тогда sinх = 1 или sinх = - 1, следовательно уравнение не имеет решения.

3tg² 2х - 4tg2х - 4 = 0,

Пусть tg2х = t, тогда             3 t² - 4t - 4 = 0,

D = 4 + 12 = 16,

 

t_1,2 = t₁= - 2/3,   t₂= 2.

tg2х = - 2/3,                                                      tg2х = 2

2х = arctg(-2/3) +pn , где n ÎZ.                  2х = arctg(-2/3) +pn , где n ÎZ.

                                               

Ответ:       где n ÎZ.

3.3  Уравнение  вида: аsinх ± bcosх = с.

Первый способ.

Уравнение вида   аsinх ± bcosх = с можно привести к однородному, применив формулы двойного угла и представить с  через основное тригонометрическое тождество.

2аsinх/2 cosх/2 ± b(cos²x/2 - sin²x/2) = c(cos²x/2 - sin²x/2).

Второй способ.

Уравнение вида  аsinх ± bcosх = с можно решить методом введения вспомогательного аргумента, для чего обе части уравнения разделить на

    и привести полученное  уравнение  к виду 

  sinх cos j ± sin j cosх =    sin(х ± j) =

Где j = arcsin    или     j = arccos   .

Третий способ.

 Уравнение вида  аsinх ± bcosх = с можно решить способом универсальной замены, т. е. используя формулы выражения sinх, cosх через tgх/2:

 

При этом необходимо установить, является ли  х = p + 2pn корнем уравнения,

т. к. tg(х/2) неопределен при этих значениях.

Пример. Решить уравнение 5cosх + 2sinх = 3.

Первый способ.

5cos² х/2 - 5sin² х/2 + 4sin х/2 cos х/2 = 3cos² х/2 + 3sin² х/2,

4sin² х/2 - 2sin х/2 cos х/2 - cos² х/2 = 0,

Поделив на cos² х/2 , т. к. cos² х/2 ¹ 0, получим:

4tg² х/2 - 2tgх/2 - 1 = 0, откуда  tgх/2 =     , т. е. х = 2 arctg  + 2pn .      

 Второй способ.

Поделим обе части  уравнения на Деление производим почленно.   

  cosх +   sinх =    т. к. , то положим, что

sin j =  ,  а   cos j =   ,

 sin j cosх + sinх cos j = ,          sin(j + х) = , где

j = arcsin или  j = arccos ,

,   х =  ( - 1)ⁿ arcsin - j + pn ,

 х =  ( - 1)ⁿ arcsin - arcsin + pn.

3.4 Уравнения  вида   sinх ± cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты

 

Уравнения вида   sinх ± cosх = 1  целесообразно решать путем умножения обеих частей на  .

sinх ± cosх = , используя принцип решения по второму способу, получаем:   sin(х ± p/4) =  , т.к. = cos p/4 или = sin p/4. Далее - стандартное решение.

Тоже получаем в случае коэффициентов    

Пример. Решить уравнение  sin х/3 -  cosх/3 = .                               

Разделим обе  части на 2для получения коэффициентов 

,     sin(х/3 -p/6) =

Эти коэффициенты можно получить, используя и метод введения вспомогательного аргумента.

3.5  Уравнения,  сводящиеся к произведению, равному  нулю. Метод разложения на множители .

Так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл, то, разложив на множители  соответствующее уравнение, можно  представить его как совокупность нескольких уравнений.

Примеры.

1. sin2х sinх - 0,5sinх - sin2х = - 0,5,

Перенесем  - 0,5 влево и сгруппируем, т. е. применим алгебраическое разложение на множители.  Получим:

sin2х sinх - 0,5sinх - sin2х + 0,5 = 0,

sin2х(sinх - 1) - 0,5(sinх - 1) =0,

(sinх - 1)(sin2х - 0.5) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх - 1 =0     или      sin2х - 0.5 = 0,

х = p/2 + pn                  2х = ( - 1)ⁿ p/6 + pn, где n ÎZ ,

                                        х = ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2.

Ответ: p/2 + pn, ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2, где n ÎZ .

2. sin2х = sinх,

Перенесем sinх влево и  применим формулу двойного угла для  синуса. Получим:

2sinх cosх - sinх = 0,

sinх (2cosх - 1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен  нулю, а другой при этом не теряет смысл.