Решение уравнеий

Содержание 

 Введение......................................................................................................................3

   Глава 1

1. Определение понятия уравнение……………………………………….5
2. Неравенства .......................................................................................7
3. Равносильность и логическое следование...................................................8
4. Понятие системы уравнений и неравенств……………………………...9
5. Классификация преобразований уравнений, неравенств и их систем….12
6. Изучение основных типов уравнений, неравенств, систем……………..13
7. Методика изучения основных классов уравнений, неравенств и их систем............................................................................................................16
1. Линейные уравнения с одним неизвестным…………………………..17
2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными…………19
3. Квадратные уравнения...........................................................................21
4. Изучение неравенств…………………………………………………...22
5. Иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства…...23

 
 

  Глава 2

2.1 Решение целых рациональных уравнений........................................................26

2.1.1  Линейные уравнения……………………………………………………26

2.1.2.Квадратные уравнения…………………………………………………26

2.1.3. Уравнения высших  степеней…………………………………………..27

2.2. Решение дробно-рациональных  уравнений………………………………….30

2.3. Решение иррациональных  уравнений………………………………………..31

2.4.Решение  целых рациональных  неравенств…………………………………..34

2.5. Решение дробных неравенств……………………………………………….36

2.6 Решение иррациональных  неравенств……………………………………….37

2.7. Показательные уравнения и неравенства………………………………….39

2.8.Логарифмические уравнения и неравенства………………………………...41

2.9. Тригонометрические уравнения и неравенства……………………………43

2.10. Уравнения с параметром…………………………………………………...45 

Заключение………..……………………………………………………………….46

  Список  использованной литературы……………………………………………..47

 

     Введение

   Материал, связанный  с уравнениями и  неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

   Истоки  алгебраических методов решения  практических задач связаны с  наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная  часть задач математического  характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (ХХ -VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями,  требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений.  Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

   Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху  сначала арабскими математиками  (VI —Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака) , а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т.д.). На рубеже ХVI—ХVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

   Таким образом, уравнение как общематематическое понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

   Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучения в современной методике математике организовано в содержательно-методическую линию— линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

   Линия уравнений и неравенств тесно  связано с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей –  приложение методов, разрабатываемых  в линии уравнения и неравенств, к исследованию функций.

   Учебная дисциплина «Методика преподавания математики» относится к числу педагогических дисциплин и изучается студентами, уже получившими определенную философскую, педагогическую, психологическую, общедидактическую и математическую подготовку. Эти знания студентов систематически используются в курсе методики преподавания математики и находят свой выход в практике обучения школьников.

   Моя курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются подходы  к изучению линии уравнений и  неравенств. Во второй главе приведены  основные примеры решений уравнений, неравенств и их систем. Также рассмотрены  два примера решений уравнений  с параметром.

   Значительное  место в курсовой работе занимают вопросы, связанные с формированием  творческого подхода к обучению математике, умением оценивать различные  системы изложения материала с точки зрения педагогики, психологии, дидактики.

   Уравнения и неравенства изучаются на протяжении всего курса школьной математики. Главная задача учителя научить  алгоритму их решения. Если это достигнуто, то у учащихся не возникнет проблем. 

 

Глава 1

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЯ УРАВНЕНИЯ

     Понятие уравнения относится к важнейшим  общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предположить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.

     В различных определениях понятия  уравнения  - в некоторых явно, в некоторых в более скрытой  форме – оно трактуется как  символическая запись задачи о разыскании таких систем значений аргументов  x₁ , x₂, . . . , x_n функции f(x₁ , x₂, . . . , x_n)  и φ(x₁ , x₂, . . . , x_n), при которых значение функции  f и φ равны. При такой трактовке понятия уравнения отчетливо заметна независимость уравнения и тождества и неправомерность рассмотрения тождества как частного случая уравнения.

     Определение отдельных видов уравнений (неравенств) – линейных, квадратных, вообще n-ой степени, рациональных, иррациональных, простейших тригонометрических, показательных, логарифмических – вводятся в связи с изучением соответствующих функций.

     Кстати, остановимся на вопросе о классификации  уравнений и неравенств. Уравнения (неравенства) классифицируются по виду функций, представляющих левую и правую части уравнения(неравенства).

     Уравнение f(x)= φ(x)(неравенства f (x)≥φ(x), f(x)≤φ(x), f(x)<φ(x), f(x)>φ(x)) называется:

• алгебраическим, если f(x)и φ(x) – алгебраические функции;

• трансцендентным, если хотя бы одна из функций f(x)и φ(x)  трансцендентная;

• рациональным алгебраическим (или просто рациональным), если алгебраические функции f(x)и φ(x)   рациональные;
• иррациональным алгебраическим (или просто иррациональным), если хотя бы одна из алгебраических функций f(x)и φ(x)   иррациональная;
• целым рациональным, если функции f(x)и φ(x)  целые рациональные;
• дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных функций f(x)и φ(x)   дробная рациональная.

     Уравнение  P(x)=0, где P(x) – многочлен стандартного вида, называется линейным  (первой степени), квадратным (второй степени), кубичным (третьей степени), четвертой степени и вообще n-ой степени, если многочлен P(x) имеет соответственно первую, вторую, третью, четвертую и вообще n-ю степень.

     Дадим другие определения понятия уравнения.

     Логико-математическое определение уравнения можно  привести  такой форме: пусть на множестве М зафиксирован набор  математических операций, x – переменная на М, тогда уравнением на множестве М относительно x называется предикат вида а(х)=b(x), где а(х) и b(x) – термы относительно заданных операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т.д.[4]

     Принятым  в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному  определению следующее определение: «предложение с переменной, имеющее  вид равенства между двумя  выражениями с этой переменной, называется уравнением».[5]

     Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание о предложении  с переменной, зависит от присутствия  этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном курсе школьной математики. Если их нет, то привести подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия  уравнения переходит в определение  другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения, - корня уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в себе признаки знакового компонента, а  термин «корень уравнения» учитывает  смысловой компонент. Такое определение  приведено в [6] : «равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения».

     Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнения  вводится посредством выделения  его из алгебраического метода решения  задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения  существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа, имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию. Например, в  [1] понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи: «конверт с новогодней открыткой стоит 17 копеек. Конверт дешевле открытки на 5 копеек. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи x+(x – 5)=17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится понятие и корня уравнения. Вот эти определения: «равенство, содержащее неизвестное число, выраженное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».

     В школьном курсе математики большую  роль играет компонент, при котором  уравнение трактуется как равенство  двух функций. Его роль проявляется  в изучении графического метода решения  уравнений.

     Еще один подход  к определению понятия  уравнения получается при сопоставлении  области определения уравнения  и множества его корней. Обычно множество корней уравнения –  собственное подмножество его области  определения. С другой стороны, при  решении уравнения приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т.е. на равенства истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых  наборах букв, называется уравнением».  [11]