Решение уравнеий

     Формирование  понятия уравнения требует использования  еще одного термина: «решить уравнение». Различные варианты его определения  отличаются друг от друга, по существу, только наличием или отсутствием  в них термина «множество».

     Таким образом, при освоении понятия уравнения  необходимо использовать термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в  текст определения, надо включать и все другие его компоненты по мере развертывания материала данной линии.

     В определении понятия уравнения  используется один из двух терминов: «переменная» или  «неизвестное».различие между  ними состоит в том ,что переменная пробегает ряд  значений, не выделяя  ни одного из них специально, а неизвестное  представляет собой буквенное обозначение  конкретного числа (поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении  уравнений по текстовым задачам). 

2. НЕРАВЕНСТВА

     Если  элементы a и b некоторого множества не находятся в отношении равенства (a и b – имена различных предметов), то говорят, что они находятся в отношении неравенства.  Это отношение выражается записью: a ≠ b. В некоторых множествах один из двух неравных элементов может находиться в особом отношении с другим – в отношении «предшествования».  В зависимости от природы элементов множества в понятие «предшествования» может вкладываться различный конкретный смысл. На множестве действительных чисел отношение «предшествования» обычно называют отношением «меньше».  Оставляя в стороне вопрос о развитии понятия «меньше» в связи с развитием понятия числа от натурального до действительного, введем следующее определение: если разность a – b действительных чисел a и b отрицательна, то говорят, что число a «меньше» числа b, и пишут: a<b (читается: «a меньше b»).  Если a<b, то говорят, что b «больше» a, что выражается записью: b>a.  На множестве действительных чисел рассматриваются также отношения « не больше» и «не меньше»: если a – b – число отрицательное или равно 0(т.е. не положительное), то говорят, что a не больше b, и пишут: a≤b (или, что b не меньше a, и пишут: b≥a). Все соотношения a<b, a≤b, a>b, a≥b имеют общее название неравенств. Неравенства a<b и c> d, a≤b и c≥d  называются неравенствами противоположного смысла, а неравенства a<b и c<d, a>b и c>d – неравенствами одинакового смысла.

     Будем пользоваться  названием «неравенства с переменными», которое подчеркивает название понятия, обозначаемого этим термином. Там, где это приводит к недоразумению, говорят короче: «неравенство».

3. РАВНОСИЛЬНОСТЬ  И ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ

     Наиболее  важным логическим средством , используемым в процессе изучения уравнений и неравенств,  является понятие равносильности.

     Уравнения называются  равносильными, если выполняются  условия: области определения уравнений  одинаковы и множества их корней равны. Имеется два пути установления равносильности уравнений.  Первый: используя известные множества корней уравнений, убедится в их совпадении; например, уравнения х+1 = х+2 и х²+1 = х²+2 равносильны, потому что не имеют корней. Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить последовательный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нарушающих равносильности.

     Очевидно, что для большинства заданий  второй путь более характерен, т.к. в  теории уравнений используется для  того, чтобы указать  конкретные правила для решения уравнений. Однако в преподавания ограничиваться им  нецелесообразно, поскольку он относится только к практическому применению равносильности и требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия равносильности требует значительной культуры мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного курса алгебры без специальных значительных усилий.

     В отношении формирования понятия  равносильности и его применения к решению уравнений учебные  пособия по алгебре можно разделить  на две группы. К  первой относятся  те пособия, в которых использование  равносильных преобразований основано на явном введении и изучении понятия  равносильности;  ко второй – те, в которых применение равносильных преобразований предшествует выделению самого понятия.  Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах значительные отличия.

     В связи с рассматриваемым вопросом в изучении материала линии уравнений  и неравенств можно выделить три  основных этапа.  Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь  происходит ознакомление  с  различными способами решения отдельных  наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование  при рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные  рассуждения все чаще заменяются такими, где равносильность фактически используется, но сам термин не употребляется. Длительность этого этапа может  быть различной; она зависит от методических установок, принятых в данном учебном  пособии.

     На  втором этапе происходит выделение  понятия равносильности и сопоставление  его теоретического содержания с  правилами преобразований, которые  выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, поскольку  га нем происходит только выделение  этого понятия и его использование  на нескольких теоретических примерах.

     На  третьем этапе на основе общего понятия  равносильности происходит развертывание  и общей теории, и теорий отдельных  классов уравнений. Такой стиль  характерен для курса алгебры  и начал анализа, изучаемого в  старших классах средней школы. Он применяется и в некоторых  пособиях по алгебре для неполной средней школы.

     Помимо  равносильных, к изучению материала  линии уравнений и неравенств применяются и другие, вообще говоря, неравносильные преобразования. Большая  часть из них в школьном курсе  не выявляется, хотя они более или  менее существенно используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением служит понятие  логического следования, которое  в ряде учебных пособий является предметом изучения. Методика работы с понятием логического следования (а также с представлением о  нем в случае, если понятие не вводится) имеет много общих черт с методикой изучения равносильности  и равносильных преобразований.

     Логическое  следование начинает применяться значительно  позже равносильности и осваивается в качестве некоторого дополнения к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразованию; логическое следование применяется лишь тогда, когда соответствующего равносильного преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование логического   следования – вынужденная мера. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой.

     Среди неравносильных преобразований есть преобразования, не являющиеся логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного случая (пример: переход от уравнения a ∙b = 0 к рассмотрению уравнения a = 0). Такие переходы можно рассматривать как практические приемы, позволяющие сосредоточить внимание на отдельных шагах процесса решения уравнения. 

4. ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ  УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

     По  сравнению с уравнениями и  неравенствами с одной переменной их системы часто оказываются более удобным аппаратом как в самой математике, так и в ее приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений (неравенств) с одной переменной требует большего труда (а иногда и искусства), чем решение с помощью системы уравнений (неравенств) с несколькими переменными.

     Системы уравнений (неравенств) решаются на протяжении всего курса математики, начиная  с 7 класса. Они находят применение  при изучении  новых  математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Таким образом, решение систем уравнений (неравенств) является важным средством  закрепления, углубления и развития теоретических знаний. Графическое  решение систем уравнений (неравенств) раскрывает значение методов аналитической геометрии, а также связь между числом, геометрической фигурой и переменной.

     Традиционная  методика предполагала начинать ознакомление учащихся с понятием системы уравнений  с решения, например, вот с такой  задачи: « Сумма двух чисел равна 13, а и разность 2. Найти эти  числа». Ясно, что поставленная задача найти пару чисел  x и y таких, чтобы их сумма равнялась 13: , а разность равнялась бы 2: x – y=2. Очевидно, искомая пара чисел, если она существует, есть общее решение этих двух уравнений. После отыскания такой пары чисел (по соображению) отмечается, что задача решена с помощью двух уравнений с двумя переменными, причем по смыслу условий и требования задачи нужно было найти общее решение этих  уравнений. Этот путь нагляден, прост и убедителен, но нередко приводит учащихся к превратным представлениям о роли уравнений с двумя и более переменными. Когда учащимся предлагается решить уравнение f(x, y)=0, они нередко ощущают определенную неловкость, считая, что поскольку переменных две, то и уравнений должно быть ровно два.

     Такой неловкости не будет, если рассматривать  изучаемый курс алгебры с более  общих позиций, что конечно, и  большего напряжения мысли учащихся, и большего мастерства учителя. Идея общего подхода заключается в следующем. Сначала рассматриваются конкретные примеры уравнений с двумя переменными. На этих примерах учащиеся убеждаются, что множества решений таких уравнений могут оказаться пустыми, конечными или бесконечными. Естественно возникает задача о методах отыскания таких множеств, столь же естественно вводится в рассмотрение графиков уравнений f(x, y)=0 (иногда такие графики могут оказаться графиками соответствий, не являющихся функциями). Затем общая задача сужается до рассмотрения (вновь на конкретных примерах!) линейных уравнений. Только после этого вводится понятие системы уравнений с двумя переменными и ставится вопрос о ее графическом решении, т.е. о ее пересечении соответствующих множеств (линий). Лишь на этой базе строится теория и практика решения систем линейных уравнений.

     Столь общий подход к довольно узкому случаю очень любопытен с дидактической  точки зрения. По существу здесь  имеется синтез конкретно-индуктивного и абстрактно-дедуктивного методов обучения. С одной стороны, строится характерная для дедукции схема перехода от общего к частному. В то же время схема эта насыщена совершенно конкретными примерами, иллюстрациями, выводы делаются на основе частных, иногда однократных наблюдений, что характерно для индукции. Такой синтез двух методов, вообще говоря, очень полезен и, как правило, ведет к успешному усвоению учащимися нового материала.

     При любом – традиционном или современном  – подходе к введению систем уравнений  дальнейшая работа несложна и сводится к изучению способов сложения и подстановки, решению текстовых задач составлением систем уравнений и анализу геометрического  смысла систем уравнений.

     Сделаем несколько частных замечаний  о решении систем уравнений и  неравенств.

     При объяснении преобразований системы  уравнений полезно ввести соглашения об операциях сложения и вычитания  уравнений: «Если имеем два уравнения  A=B и C=D, то уравнение A+C=B+D обычно называют суммой, а уравнение A – C=B – D – разностью данных уравнений». При допущении такой условности можно говорить об умножении уравнения на число: Aa=Bb. Такие соглашения сделают менее громоздкими объяснения выполняемых преобразований систем уравнений.

     При решении систем уравнений нельзя ослаблять требований к оформлению записи, в противном случае учащиеся начинают вести записи небрежно и  неправильно. Например, после преобразования системы уравнений , в систему , учащиеся теряют саму систему и производят вычисления: 3x=11, , .

     В средней школе нет возможности  детально развернуть теорию равносильности систем уравнений, поэтому и здесь, как и при изучении уравнений, вопрос о возможной потере решений  или о возможном приобретении посторонних решений вследствие преобразований систем следует решать посредством наблюдения за изменением ОДЗ систем значений переменных в  процессе преобразования системы. Поэтому  с переходом к решению систем нелинейных уравнений(неравенств с  двумя переменными) следует ввести определение: множества систем (пар) значений переменных уравнения (неравенства), при которых части уравнений(неравенства) не теряют смысла, называется областью допустимых систем (пар) значений переменных (ОДЗ).

     ОДЗ для системы определяется как  пересечение ОДЗ для всех уравнений (неравенств) системы.

     Затем надо показать примеры изменения  ОДЗ в процессе решения системы.

     В решении систем неравенств следует  отчетливо видеть два неравнозначных по содержанию и уровню трудности  этапа. Первый -  решение систем неравенств с одной переменной – в принципе очень прост. Неравенство с одной  переменной, вообще горя, задает на прямой числовой промежуток.

     Совершенно  иное дело – системы неравенств с двумя переменными. Решением одного неравенства с двумя переменными  называется, как известно, пара значений переменных, обращающая его в верное неравенство. Иначе говоря, множество  решений неравенства с двумя  переменными есть подмножество R², т.е.  геометрически – двумерная область. Этот факт для учащихся достаточно нов, у них фактически нет основательной базы для его усвоения. Но уже через два-три урока вводится понятие системы неравенств с двумя переменными, т.е. отыскивается пересечение двух или нескольких довольно сложно организованных множеств. Очевидно, учитель должен на первых порах ограничиться очень скромным уровнем требований и простейшими примерами.