Шпаргалка по "Математики"

1. Множества и действия с ними

Множество представляет собой определенную совокупность объектов, объединенных в единое целое в соответствии с некоторыми признаками и правилами. Множества обозначаются: A, B, C, X, Y, Z (множество всех, натуральных чисел N; множество точек окружности).

Предметы, составляющие множество, называют его элементами. Элементы множеств обозначаются: a, b, c, x, y, z. Элементы множества и само множество связаны между собой отношением «принадлежность».

К числовым множествам относятся: множество натуральных чисел N; множество целых чисел Z; множество рациональных чисел Q; множество иррациональных чисел W; множество действительных чисел R. Множества N, Z, Q – счетные, W, R – континуальные.

Для описания множеств будем использовать два способа:

1. Перечисление:  A = ía, b, cý;  X = íx1, x2, ¼, xný.

2. Задание множества  с помощью записи свойства, определяющего отношение принадлежности элементов данному множеству: A = íx: Q(x)ý - множеству А принадлежат все те и только те элементы x, которые обладают свойством Q(x).

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него - кругов (или каких-либо других замкнутых фигур), представляющих множества.

Операции:

1. Объединением множеств A и B называется множество, каждый элемент которого  принадлежит хотя бы одному из множеств A или B:  A È B = íx: xÎA Ú xÎBý.
2. Пересечением множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству В:  A Ç B = íx: xÎA & xÎBý.
3. Дополнением множества A называется разность универсального множества U и множества А: А = U \ A = íx: x Î U & x Ï Aý.
4. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов множества А, не входящих во множество В:  A \ B = íx: x Î A & x Ï Bý.

Свойства:

1. Идемпотентность:  A È A = A, A Ç A = A.

2. Коммутативность:  A È B = B È A, A Ç B = B Ç A.

3. Ассоциативность:  A È (B È C) = (A È B) È C,

                                     A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C.

4. Дистрибутивность: A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C),

                                      A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).

5. Поглощение:  (A Ç B) È A = A, (A È B) Ç A = A.

6. Свойства нуля:  A È Æ = A, A Ç Æ = Æ.

7. Свойства единицы:  A È U = U, A Ç U = A.

8. Инволютивность: 

9. Правила де Моргана:

10. Свойства дополнения:

11. Выражение  для разности:   

 

2. Действительные числа

Положительным действительным числом называется последовательность десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с одной запятой между ними:  

Отрицательным действительным числом называется последовательность десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 с одной запятой между ними со знаком « – » перед ней:  

Отношение порядка на множестве R. Для двух положительных действительных чисел  

у которых  до (n+1)-го разряда стоят одинаковые цифры, полагаем a < b тогда и только тогда, когда an+1 < bn+1. Если b – положительное число, а число a – отрицательное или ноль, то всегда a < b. Если a и b – отрицательные числа, то a < b тогда и только тогда, когда |b| < |a|.Запись a < b читается «a меньше b». Эквивалентная запись b > a читается «b больше a».

Свойства  отношения порядка:

1. Если a < b, b < c, то a < c.

2. Если  a < b, то $ c Î R такое, что a < c < b.

Число c называется точной верхней (нижней) гранью множества A, если выполнены следующие условия:

1) a £ c (c £ a) для всех чисел a Î A;

2) для  любого числа b < c (c < b) найдётся число a Î A такое, что b < a (a < b).

Точная  верхняя (нижняя) грань множества A обозначается sup A (inf A). 

 

3. Комплексные числа

Комплексным числом называется выражение вида z=x+iy, где x и y – действительные числа, i – мнимая единица (числою квадрат которого равен -1). Число x называется действительной частью числа я и обозначается Re(z), a число y – мнимой частью числа и обозначается Im(z).

Стандартная запись комплексного числа:

Действия:

1. Сложение (если z₁=(x_1;y₁), z₂=(x_2;y₂), то z₁+z₂= (x₁+x₂; y₁+y₂) или z₁+z₂=x₁₊x₂+i(y₁+y₂))
2. Произведение (z_1* z₂=( x_1*x₂-y_1*y₂)+i(x_1* y₂+ x_2* y₁))
3. Деление ( )
4. Вычитание (z₁-z₂=x₁-x₂+i(y₁-y₂))

Тригонометрическая  форма комплексного числа 
 

Где r- модуль комплексного числа

- аргумент комплексного числа  и обозначается Arg(z).

Арифметические  операции над числами в тригонометрической форме

 
 

Формула Муавра 

                                  Где n- степень

Корень n-ой степени из комплексного числа  
 
 
 

Решение квадратного уравнения 

Рассмотрим квадратно  уравнение:  az² + bz + c = 0, a, b, c – комплексные числа и a ¹ 0.

Поделим уравнение  на a:  

Отсюда находим  корни уравнения: 
 

Пусть a, b, c – действительные числа и дискриминант D < 0. Тогда 
 

Очевидно, что 

 

4. Матрицы и действия с ними

Числовой  матрицей порядка или размера (m ´ n), будем называть прямоугольную таблицу из m ´ n действительных чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Обычно матрицы обозначаются заглавными буквами и записываются так: 
 
 
 

 

1. Умножение матриц на число

Пример: С = ,   – 2C = .

2. Сложение матриц просто сложить (главное чтоб число столбцов и сток СОВПАДАЛО)

3. Произведение матрицы А на В, обозначаемое АВ, определено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, и в этом случае матрица А называется согласованной с матрицей В для умножения. Тогда

(умножать первую  стоку на первый столбец и  т.д.).

Свойства:

 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

4. Матрица, полученная из данной матрицы Аm´n заменой каждой ее строки на столбец с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной и обозначается АТ. 
 
 
 

 

5. Определители квадратных матриц

Каждой квадратной матрице Аn´n, элементами которой являются числа, можно поставить в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы An´n и обозначаемое detA или |A|.

1. Определителем матрицы второго порядка А=(а_ij), называется число , которое вычисляется по формуле:

 
 
 
 
 

2. Определителем матрицы третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле (метод треугольников)

3. Определителем квадратной матрицы m-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Находим миноры (вычеркиваем первую строку и первый столбец и т.д. записываем нахождение определителя для получившейся матрицы (-1)^i+jM_ij а потом тупо находится сумма всех получившихся определителей.

Свойства  определителей:

1. detA = detAT, т.е. все свойства, которые справедливы для строк определителя, также справедливы и для столбцов определителя.