Шпаргалка по "Математики"

Смешанным произведением  трех векторов      a,b,c            называется число, обозначаемое       a,b,c (с векторами)         и определяемое следующим образом: 

Свойства смешанного произведения: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

15. Система векторов. Линейная зависимость и независимость векторов.

Векторы а₁, а₂, … а_m векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁, ₂, …, _m, не равные одновременно нулю, что ₁ а₁+ ₂ а₂+…+ _mа_m=0. В противном случае векторы а₁, а₂, … а_m называются линейно независимыми. Пример: Решить систему уравнений.

 

16. Базис

Совокупность  n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Вектора линейно независимы если

1. Ранг матрицы > числа векторов.
2. Определитель матрицы не равен нулю.
3. а₁, a₂ – линейно зависимы вектора, если существуют ₁, ₂ 0, что выполняется равенством а₁+…+ _mа_m=0, а если ₁, 2=0, то вектора линейно независимы.

Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы (не лежащие на одной прямой, не лежащие на параллельных прямых), взятые в определенном порядке.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора (если их смешанное произведение не равно нулю), взятые в определенном порядке.

Система координат— комплекс определений, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу. Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

 

17. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства Rⁿ

Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n+1) векторов уже являются зависимыми. Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов (число n называется размерностью пространства R и обозначается dim(R)).

n-мерный вектор – упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x=(x₁, x₂, … , x_n) где xi – i-я компонента вектора x.

Действия:

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z=x+y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов;

Произведением вектора x на действительное число называется вектор u= x, компоненты ui которого равны произведению на соответствующие компоненты вектора x, т.е. ui= xi, i=1,2,…, n.

X, y, z можно рассматривать не только как векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество называется линейным пространством (пример: множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n).

Евклидово пространство – Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам, называется Евклидовым пространством. Свойства: 1) (x,y)=(y,x) – коммуникативное свойство; 2) (x,y+z)=(y,x)+(x,z) – дистрибутивное свойство; 3) ( x,y)= (x,y) – для любого действительного числа ; 4) (x,x)>0, если x – ненулевой вектор; (x,x)=0, если x – нулевой вектор.  

 

18. Понятие линейного оператора.

Рассмотрим два  линейных пространства Rⁿ размерности n и R^m размерности m.

Если задан  закон (правило), по которому каждому  вектору x пространства Rⁿ ставится в соответствие единственный вектор y пространства R^m, то говорят, что задан оператор , действующий из Rⁿ в R^m, и записывают . Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rⁿ и любого числа выполняются соотношения: 1) (x+y)= (x)+ (y) – свойство аддитивности оператора; 2) ( x)= (x) – свойство однородности оператора.  

 

19. Собственный вектор и собственное значение квадратной матрицы

 Преобразование  f линейного пространства V  называется линейным преобразованием (линейными оператором), если для любых векторов этого пространства x, x₁, x₂ и любого действительного числа выполняются условия:

 1) f(x₁+x₂) =f(x₁)+f(x₂) 2) f( x)= f(x)

 Ненулевой вектор x линейного пространства называется собственным вектором линейного преобразования f этого пространства, если существует такое число k, что f(x)=kx, причем k – действительное число для действительного линейного пространства.

 Число k называется собственным значением вектора x относительно преобразования f. Равенство модно записать в матричном виде: AX=kX, где А – матрица преобразования f в некотором базисе; X – матрица-столбец из координат собственного вектора x в том же базисе. Ненулевая матрица –столбец X, удовлетворяющая уравнению AX=kX называется собственным вектором-столбцом матрицы А с собственным значением k.

Свойства  собственных векторов:

1. Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное значение k;
2. Если x и y – линейно независимые собственные векторы линейного преобразования f с одним и тем же собственным значением k, то x+y – так же собственный вектор этого преобразования с собственным значением k.
3. Если x и y – собственные векторы линейного преобразования f с собственными числами k и m, причем k m, то x и y – линейно независимы.

 

Линейная  модель обмена.

Пусть имеется  n стран S₁, S₂, … S_n. национальный доход каждой из которых равен x₁, x₂ …x_n. Обозначим коэффициентами a_ij долю национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i. Будем считать, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо из других стран, т.е. . Рассмотрим матрицу А= которая получила название структурной матрицы торговли. В соответствии с формулой сумма элементов любого столбца матрицы А равна 1.

Для любой страны выручка от внутренней и внешней торговли составляет: p_i=a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n.

Для сбалансированной торговли необходима бездефицитность  торговли каждой страны т.е. выручка  от торговли каждой страны должна быть не меньше ее национального дохода: p_i>x_i (i=1,2,…,n).

Если считать, что p_i>x_i (i=1,2,…,n), то получим систему неравенств

Сложив все  неравенства этой системы, получим  после группировки  . Учитывая, что то что получилось, выражения в скобках равны единице, и мы приходим к противоречивому неравенству: . Таким образом равенство p_i>x_i (i=1,2,…,n) невозможно и условие p_i>x_i принимает вид p_i=x_i. Вводя вектор (x₁, x₂,...x_n) национальных доходов стран получим матричное уравнение AX=X, где X – матрица-столбец из координат вектора x; т.е. задача сводится к отысканию собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению =1.

 

20. Квадратичные формы.

Квадратичной  формой L(x₁, x₂, …, x_n) от n переменных называется сумма, каждый член из которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом: 
 
 

Коэффициенты  a_ij – действительные числа, причем a_ij=a_ji. Матрица А=(aij) (i, j= 1,2,…,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы. В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L=XA’X, где X=(x₁, x₂, …, x_n)’ – матрица-столбец переменных. В самом деле:  
 
 
 
 
 
 

Классификация кривых второго порядка

Кривые второго порядка: эллипс, гипербола и парабола - задаются квадратичными формами в двухмерном пространстве, причем если

 

 
 

Пример: определить тип кривой второго порядка  заданной уравнением x2+xy+y2=1. Составим матрицу  Найдем ее определитель и смотрим, то что написано выше…

 

21. Прямая на плоскости

Способы задания  прямой на плоскости:

Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с  осью Ox. И величиной направленного  отрезка, отсекаемого на оси Oy, координатами двух точек. В зависимости от способа задания прямой рассматривают различные виды ее уравнения:

1. Прямая , параллельная оси Oy в прямоугольной декартовой системе координат. Точка А – точка пересечения этой прямой с осью Ox (a;0). Уравнение: x=a является уравнением данной прямой.
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k и начальной координатой в точке b: y=kx+b, где k=tg , где - угол между прямой и осью Ox.
3. Прямая параллельная оси Ox: k=0, имеет уравнение Y=b.
4. Уравнение прямой, проходящей в данном направлении через данную точку M(x₁;y₁): (y-y₁)=k(x-x₁)
5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
6. Общее уравнение прямой Ax+By+C=0

Угол между  двумя прямыми: где АВ – координаты точек.

Условия параллельности прямых:

1. Для прямых вида y=kx+b: k₁=k₂, k₁=tg ₁, k₂=tg ₂
2. Для прямых общего вида Ax+By+C=0: , где А-коэффициент перед x, В-коэффициент перед y. Чтоб найти общую точку (точку пересечения)

Условия  перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями Ax+By+C=0

1) или A₁A₂+B₁B₂=0

2) прямые заданные  уравнениями Ax+By+C=0 и Bx-Ay+C=0 тоже перпендикулярны. 

 

22. Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве можно задать различными способами: тремя точками, точкой и вектором, перпендикулярным плоскости и т.д. В зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Дана точка М₀(x₀, y₀, z₀) и ненулевой вектор n=(А,В,С). Возьмем произвольную точку М (x, y,z) данной плоскости. Т.к. вектор М₀М=(x-x₀, y-y₀, z-z₀) лежит на плоскости, то он перпендикулярен вектору n т.е. получим уравнение A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0, которому можно придать вид Ax+By+Cz+D=0, где D=-(Ax₀+By₀+Cz₀) – общее уравнение плоскости, где А,В,С одно временно нулями быть не могут.

Частные случаи:

2. D=0, уравнение принимает вид Ax+By+Cz=0
3. C=0, уравнение принимает вид Ax+By+D=0
4. C=0, D=0, уравнение принимает вид Ax+By=0
5. B=0, D=0, уравнение принимает вид Ax+D=0 или x=a (a= )
6. B=0, C=0, D=0, уравнение принимает вид Ax=0 или x=0.

Угол между  плоскостями:

Пусть даны 2 плоскости. Угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами (ненулевыми векторами) n₁ и n₂ поэтому

1) Условия параллельности двух плоскостей: заданы две плоскости A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 первая из них имеет ненулевой(нормальный) вектор n₁=(A₁, B₁ C₁), вторая n₂=(A₂, B₂, C₂). Эти плоскости параллельны, если векторы n₁ и n₂ коллинеарны (лежат или на одной прямой или на параллельных прямых). => A₂= A₁ B₂= B₁  C₂= C₁ или