Шпаргалка по "Математика"

Билет №1.

1) Скалярное произведение векторов на плоскости.

Скалярное произведение векторов - это  операция над двумя векторами, результатом  которой является число (не вектор).

Определяется скалярное произведение, как правило, следующим образом: (a,b)=|a|·|b|·cosα  

Свойства скалярного произведения:

1. Скалярное произведение двух  векторов подчиняется коммутативному  закону, т.е. для любых векторов  и

2. Для любого числа λ и любых  векторов  имеем:

3. Для любых векторов  выполняется равенство :

4. Для любого вектора  выполняется соотношение:

5. Скалярное произведение двух  векторов равно нулю тогда  и только тогда, когда равен  нулю один из сомножителей  или векторы перпендикулярны.

2) Метод Гаусса. Прямой и обратный ход в терминах расширенной матрицы системы. Ступенчатая матрица. Вектор решений системы. Примеры.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы.

Билет №2.

1) Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование.

Уравнение вида Ax+By+C=0, где A, B, C – постоянные, причём A²+B²>0, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Частные случаи:     

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;     

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;     

3) C = 0 - прямая проходит через начало координат;     

4) y = 0 - ось Ox;     

5) x = 0 - ось Oy.

Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором

2) Определитель квадратной матрицы второго и третьего порядков. Правило диагоналей и правило треугольников.

Определителем матрицы  второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Например, пусть

Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно  по одному элементу из каждой строки и  каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая  называется правилом треугольников  или правилом Сарруса. Первые три  слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а  последующие три слагаемые берутся  со знаком минус и определяются из правого рисунка.Пример. Вычислить определитель,

Билет №3.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол  , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

 Уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат. При b = 0 уравнение имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.

Если прямая задана общим уравнением

то ее угловой коэффициент  определяется по формуле:

2) Квадратные матрицы. Степень квадратной матрицы. Полином от квадратной матрицы. Верхнетреугольные, нижнетреугольные и диагональные матрицы.

Матрица называется квадратной, если количество её строк совпадает с количеством её столбцов.

Единичная матрица – матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, остальные элементы равны нулю.

Для некоторых квадратных матриц можно  найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A ^{− 1} такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица: AA ^{− 1} = E

В степень можно возводить  только квадратные матрицы. Так, любую  квадратную матрицу можно умножить саму на себя, т. е. возвести в квадрат. При этом, естественно, получим матрицу  того же размера (которую, в свою очередь, можно снова умножить на исходную матрицу - возвести в куб, и т.д.).

Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Нижнетреугольная  матрица — квадратная матрица, в которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Унитреугольная  матрица — треугольная матрица, в которой все элементы на главной диагонали равны единице.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.

Определитель унитреугольной матрицы равен единице. 
Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю. (Квадратная матрица называется диагональной, если она и верхнетреугольная, и нижнетреугольная.)

1) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. Уравнение пучка прямых.

y - y₁ = k(x - x₁)

{k – задано, kЄR

Уравнение пучка прямых, проходящих через фиксированную точку с  координатами(x0;y0).

y - y₁ = k(x - x₁)

{k – параметр, kЄR

2) Системы линейных уравнений. Линейные векторные уравнения. Метод Гаусса. Примеры.

Системой линейных уравнений с неизвестными называется система уравнений вида

Система уравнений называется однородной, если и неоднородной в противном случае.

Решением системы называется любой набор чисел

которые при подстановке  в систему вместо неизвестных

превращают все уравнения системы в верные равенства.

В общем случае линейное уравнение имеет вид: