Шпаргалка по высшей математике

Нулевая матрица и ее свойства

Нулева́я ма́трица — это матрица, размера все элементы которой равны нулю. Ранг нулевой матрицы равен 0

Свойства:

1) Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой

2) Сумма матрицы A и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице A

3) Разница матрицы A и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице A

4)произведение  матрицы А на нулевую равно нулевой матрице

5) Квадр. нулевая матрица является вырожденной(т.е. ее определитель равен нулю).такие матрицы не имеют обратной матрицы

6)Квадратная нулевая матрица,её транспонированная матрица равна ей самой

7)Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

8) перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера. 

 

элементарные преобразования матриц и его свойства

Элем.преобр.матриц- это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц.

1) умножение  какой-нибудь строки (столбца) на  отличное от нуля число;

2) прибавление  к какой-нибудь строке (столбцу)  другой ее строки (столбца), умноженной  на произвольное число;

3) перестановку  местами любых двух строк (столбцов).

При помощи элементарных преобразований любую  матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной  диагонали стоят подряд несколько  единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической

4)вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов)

5) транспонирование

Также с помощью элементарных преобразований строк квадратную матрицу А можно привести к единичной матрице Е, то при таких же элементарных преобразованиях над матрицей Е получим А^-1  
 

Правило Крамера

способ  решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера.

Пример

1)дана  Система линейных уравнений

2)найти определители(вставляем свободные члены(b) вместо каждой неизвест. переменной (х)

 

3)находим неизвестные числа (х)

 

Можно наверняка использовать формулы Крам,если:

1)столбцы  или строки м.А линейно независимы(т.е. определитель м.А ≠0

2)ранг  матрицы А равен числу неизвестных  
 

Треугольная матрица и ее свойства                                         

Треугольная матрица— квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю. Бывают:

1)нижнетреугольная(все элементы выше главной диагонали равны нулю)

2)диагональная(по диагонали цифры, наверху внизу-нули)

 3)единичная матрица    

 

    1 2 3 4   4)верхнетреугольная(все элементы ниже главн.

    0 1 3 1          диагонали равны нулю)

    0 0 2 1

    0 0 0 3

Свойства:

1)Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали

2)Определитель унитреугольной матрицы равен единице

3) При возведении треугольной матрицы в целую положительную степень ее диагональные элементы возводятся в эту же самую степень

4) При умножении треугольной матрицы на некоторое число ее диагональные элементы умножаются на это же самое число

                                                                                                         

Правило Саррюса (правило звездочки)

Используется  для вычисления определителя 3 порядка 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Теорема Кронеккера-Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.

1)если  ранг основ м-ы системы = рангу расширенной м-ы, то система имеет хотя бы одно решение R(A)=R(A|B)

2)если  ранг м.А равен рангу расширенной м-ы и равен числу неизвестных, то система определенна,т.е. имеет 1 решение R(A)=R(A|B)=n

3)если  ранг м.А равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных,то система имеет бесконечное множ-о решений R(A)=R(A|B)<n

4)если  ранг основной  ранг матрицы А  не равен рангу  расширенной, то  система несовместна ,следовательно не имеет решений R(A) ≠ R(A|B)

R(A)=R(A|B)>n –ТАКОГО БЫТЬ НЕ МОЖЕТ

Зная  число неизвестных(в примере их 3 шт),ранги обеих матриц-можем найти число свободных переменных по формуле n-R=c , а также число базисных переменных по формуле n-c

Найдя число  свободных переменных,переносим их в сторону расширенной матрицы с противоположным знаком. Находим х_1,х₂,х_3. Это и будет общим решением 
 
 
 
 
 

Сложение  матриц и его свойства

Суммой  двух матриц одного размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.

   

Свойства  сложения матриц

5.коммутативность(А+В=В+А))

6.ассоциативность  (А+В)+С=А+(В+С)

7.сложение  с нулевой матрицей(А+0=А)

8.существование противоположной матрицы А+(-А)=0 
 
 
 
 
 
 

матричная запись системы линейных уравнений

рассмотрим  систему уравнений:

  матрица сист

матрицы-столбцы.(х-число неизвестн,с-свободные члены)     Очевидно, что:                 

  ,тогда

АХ=С-такое равенство называют матричным уравнением.

Если матрица А системы невырожденная, (det А 0), то это уравнение решается следующим образом:

Для этого необходимо умножить обе части матричного уравнения  на обратную матрицу (А^-1). В левой части произведение обраной матрицы на матрицу коэффициентов  дает единицу а в правой части как раз стоит произведение обратной матрицы на столбец свободных членов, которое и дает матричное решение системы линейных уранений.  
 

Общее решение системы  линейных уравнений

если  общая система линейных уравнений  АХ=В совместна, R(A)=R   ,например

   a₁₁  a_{12 …}    a_1r

      a₂₁  a_{22  …}   a_2r

        _…    … … …

     a_r1    a_{r2   …}    a_rr

есть  базисный минор матрицы системы, то она равносильна системе

   a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + … + a_1r x_r = b₁ – a_1r+1 - … - a_1n x_n

     a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + … + a_2r x_r = b₂ – a_2r+1 - … - a_2n x_n

     _{……………………………………………………………………………………….}

       a_r1 x₁ + a_r2 x₂ + … + a_rr x_r = b_r – a_rr+1 - … - a_rn x_n 

Придавая  переменным x_r+1 , x_r+2 , … , x_n (свободным переменным произвольные значения x_r+1 = c_r+1, x_r+2 = c_r+2, …,x_n= c_n , получим однозначно (например,по правилу крамера) значения x₁  = c₁, x₂=c₂, …, x_r=c_r. Тогда (c₁, c₂,  c_n) является решением исходной матрицы 
 
 
 
 

Транспонирование  матриц и его свойства

Транспонированная матрица — матрица AT, полученная из исходной матрицы A заменой строк  на столбцы.

Свойства:

1) (АТ)Т=А  (Дважды  транспонированная матрица А равна исходной матрице А)

2) (λА)Т= λАТ  (При транспонировании можно выносить скаляр)

3) (А+В)Т=АТ+ВТ   (Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц)

4) (АВ)Т=ВТ+АТ    (Транспонированное произведение матриц равно произведению транспонированных матриц)

5)   (Определитель  транспонированной матрицы равен  определителю исходной матрицы) 

                   

Полярная  система координат— двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов.основными элементами этой системы явл. Точка отсчета(полюс) и луч,начинающейся в этой точке 

           ρ

                               φ

                    луч

полюс

ρ-расстояние, φ-угол между полярной осью и отрезком,соединяющим точку А с полюсом. Полярный угол  определен для любой точки плоскости, за исключением полюса , и принимает значения , -π<φ≤π , называемыми главными значениями полярного угла .

Полярный  угол измеряется в радианах и отсчитывается  от полярной оси:

- в положительном  направлении (против направления  движения часовой стрелки), если  значение угла положительное;

- в отрицательном  направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное. 
 

Формулы,связывающие декарт.и полярн.системы

Полярные  координаты легко преобразовать  в декартовы.

для перехода из декартовой в полярную 

для перехода из полярной в декартовую