Шпаргалка по высшей математике

1) (-1)×А=-А

2) α(βА)=(αβ)А- Сочетательное свойство

3) α(А+В)=αА+αβ – свойство дистрибутивности

4) (α+β)А=αА+βА - Распределительное свойство

 
 
 
 
 

Свойства  собственных чисел  квадратной матрицы

Собственным числом(λ) м.А называется число, опред-е как решение характеристического уравнения |А-λЕ|=0

Свойства:

1)сумма  собств чисел м. А равна сумме ее диагональных элементов(следу этой матрицы)

2)произвед-е собств.чисел м.А = определителю этой м.

3)число  отличных от нуля  собств чисел м.А  =ее рангу

4)если  λ₀-собств число невырожденной м. А(определитель не равен 0), то    -собственное число обратной м.

5)если  λ₀-собств.число невырожденной м. А, то A₀^K- собственное число м.А при любом целом k≥1

6)квадратные  матрицы А и  А^Т(транспонир)подобны,т.е. у них одинаковые собственные числа

7)собств.числами диагональной м-ы являются числа, стоящие на главной диагонали

8) если  м. А-невырожденная, то матрица В=Т^-1АТ подобна матрице А

9) если  все собственные числа м.А различны, а V-матрица,столбцами которого явялются собств.векторы м.А, соответствующие разным собственным числам этой матрицы, то матрица V^-1AV- диагональная матрица,подобная м.А 
 
 

Декартова сист-а координат на ПЛОСКОСТИ

Системой  координат назыв-я совокуп-ть одной или двух пересекающ-я осей(координатные оси). Точки,в которых эти оси пересекаются назыв. началом коорд-т и единичных отрезков на каждой из оси. Каждая точка в системе коорд-т опред-я упорядоченным набором нескольких чисел. Эти числа называются координатами. Д.К- это если в качестве координатных осей берутся прямые, перпендикулярные друг другу, в которой единицы измерения по всем осям равны друг другу. Координатные оси делят коорд. Плоскость на 4 квадрата, у этих квадратов есть точки, лежащие на осях координат не принадлежащие ни одному квадрату.

1)Расстояние между точками A (x1; y1) и B (x2; y2) равно

2) Координаты середины отрезка

3) Общее уравнение прямой

ax + by + c = 0;

если  а = 0, прямая параллельна Ох;

если b = 0, прямая параллельна Оy;

если c = 0, прямая проходит через начало координат. 
 
 
 
 

Декартова сист-а координат в ПРОСТРАНСТВЕ

Декартова прямоугольна система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси - координатными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья - осью апликат. Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

1) Расстояние между точками

2) нахождение середины отрезка

3)расстояние от т.А до начала координат

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Понятие собственного числа 

Собственным числом м.А называется число λ, удовлетворяющее уравнению |A-λE|=0. Множество собств чисел м. А называется ее спектром. Квадратные матрицы одного порядка,имеющие одинаковые спектры, называются подобными. Уравнение |A-λE|=0 называется характеристическим уравнением матрицы А, определитель |A-λE|-характеристическим многочленом матрицы А

 
 
 

Длина вектора, вычисление косинуса угла между векторами

1)Длина вектора. Модулем или длиной вектора AB называется длина соответствующего направленного отрезка AB и обозначается так |AB|. Модуль вектора (длина вектора) |a| в прямоугольных декартовых координатах равен квадратному корню из суммы квадратов его координат

Например a = {x₁; y₁; z₁} тогда модуль вектора:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

расстояние  между двумя точками(док-во)

пусть имеются две точки М₁ и М₂ в декартовой системе и имеют координаты М₁(x₁;y₁) и М₂(x₂;y₂). Достроим точку М₃ (x₁;y₂) и соединим все три точки отрезками. получим прямоугольный Δ-к. линия соединяющая точку М1 и М2 является гипотенузой прямоугольного Δ-ка.

Обозначим получившиеся три отрезка a,b,c. Из теоремы пифагора известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c²=a²+b².

Чтобы найти длину отрезка с необходимо извлечь из под корня сумму квадратов катетов. найти длины отрезков a и b. Т.к. отрезок a параллелен оси Оx, то его длина составляет x₂-x₁, для отрезка b длина будет y₂-y₁. Подставив длины отрезков в формулу, мы можем записать формулу для нахождения расстояния между двумя точками:

 
 
 
 
 
 
 
 
 

вычисление  косинуса угла между  векторами

По определению  скалярн-о произведения а•b=|а| • |b| cos φ

Следовательно т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.

 

пусть заданы вектора а = (x₁ ; y₁ ; z₁)  и b = (x₂ ; y₂; z₂).

Тогда, как известно

и поэтому, используя равенство (1), получим  формулу

Эта формула  позволяет вычислить косинус  угла между векторами а и b по координатам  этих векторов.

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Общее уравнение прямой

Рассмотрим  уравнение первой степени относительно x и y в общем виде : Аx + By + C = 0, где  A,B,C-произвольные числа , причем А и B не равны нулю одновременно. это уравнение является уравнением прямой линии.

Частные случаи уравнения  прямой:

1) если А = 0, то уравнение приводится к виду y= прямая параллельна Ох;

2) если B = 0, то уравнение имеет вид Ax+C=0,то есть

х= это уравнение прямой, параллельной оси Оy и проходящей через точку (;0)

3)если В≠0,то из уравнения получаем y= это уравнение прямой с угловым коэффициентом          

k= tgα=

4) если C = 0, то получаем Ax+ By = 0. Уравнению удовлетворяют координаты точки О(0;0). прямая проходит через начало координат. 
 
 
 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом? Геометрический смысл углового коэффициента

прямая задана общим уравнением Ax+By+C=0,

приведем  к виду y = kx + b

получается  y=→→ k=

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат. Уравнением может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.

Величину, равную тангенсу угла а, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют угловым коэффициентом прямой и обозначают k=tgα

Геометрический  смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу. (для Ах+Ву+С=0). Угловой коэффициент прямой показывает какой угол образует прямая с осью ОХ. 
 
 

Гипербола. Каноническое уравнение  гиперболы

Гиперболой  называется множество всех точек  плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

 F1(-c; 0)  и F2(c; 0)-фокусы.

2c-расстояние между ними,

2а-это сумма расстояний от М до F1 и F2. → 2a > 2c,

Пусть M(x;y) — произвольная точка эллипса. Тогда |MF1-MF2|=2a,то есть

После упрощений, как это было сделано при выводе уравнения  эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы  
 

E= эксцентриситет гиперболы, где а -  расстояние от центра гиперболы до ее вершины. 
 
 
 
 

Парабола. Каноническое уравнение  параболы

Параболой называется множество всех точек  плоскости, каждая из которых одинаково  удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p (p > 0).