Шпаргалка по высшей математике

Деление отрезка в заданном соотношении

Если  точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки М₁ (x₁, y₁) и M₂(x₂,y₂), и дано отношение

, в котором точка М делит отрезок М₁М_{2 ,} то координаты точки М определяются по формулам:

  

Если  точка М является серединой отрезка М₁М₂ , то ее координаты определяются по формулам:

  

Если  λ=0, то это означает , что точки А и М совпадают.

Если  λ<0, то точка М лежит вне отрезка М₁М₂

   

  М₁                              М                                М₂                      

Понятие радиус-вектора

Радиус-вектор точки - это называется вектор, начало которого совпадает с началом  системы координат, а конец - с данной точкой. Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат. Можно определить расположение точки векторным способом. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В - это конец ее радиус-вектора r1.  Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости  углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении  против часовой стрелки.

 
 
 

Разложение  произвольного вектора  по ортам координатных осей на плоскости и в пространстве.

В ПРОСТРАНСТВЕ. Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Oz единичные векторы (орты), обозначаемые i , j , k соответственно.

Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а=ОМ. Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно через М₁ , М₂ и Мз. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр _ха=|OM ₁|, np_ya = |ОМ₂|, пр_z а=|ОМз|. По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМ ₁ + M₁N + NM. А так как M₁N=OM₂ , NM =ОМз, то а=ОМ₁ + ОМ₂ + ОМ₃   

Обозначим проекции вектора а=ОМ на оси Ох, Оу и Oz соответственно через а_х, а_у и a_z, т.е. |OM ₁| = а_х,|ОМ₂| = а_у, |ОМ₃| = а_z. Тогда из равенств получаем a=a_xi+a_yj+a_zk 

Эта формула  является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа а_х, а_у, a_z называются координатами вектора а, т. е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

НА  ПЛОСКОСТИ

Вектор а =ОМ+ОА. Т.к. ОМ коллинеарен i , а ОА коллинеарен j, то вектор а=ОМ×i + OA×j 
 
 
 

Действия  с векторами в  координатной форме

Как и  координата вектора на прямой, координаты вектора на плоскости обладают следующими свойствами:

С в  о й с т в о    1.  При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

Пусть a=(a_x ; a_y)    b=(b_x ; b_y)  сумма векторов записывается с=a+b     →    c=(a_x + b_x ; a_y + b_y)    →

C_x=a_x + b_x   и   c_y=a_y + b_y .

Действительно!  С=a+b= (a_x + b_x)×i + (a_y + b_y)×j

С в о й с т в о 2. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

Пусть а=(а_x ; a_y)  и  b=αa.  

Покажем,что b=(αa_x ; αa_y)

То есть  b_x=αa_x  и   b=αa_y

Действительно ! выполняется равенство b=αa_x×i + αa_y× j 

  
 
 
 
 
 

Признак коллинеарности векторов

Коллинеарные векторы – векторы а и b называются таковыми, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записываются как a | | b. Коллинеарные векторы могут быть направленны одинаково или противоположно

 

Выясним условия коллинеарности векторо a и b, заданных своими координатами.

Так как  a | | b, то можно записать a =λ × b, где λ-некоторое число.

То есть a_x×i + a_y×j + a_z×k = λ(b_x×i + b_y ×j + b_z×k)=

=λb_x×i + λb_y× j + λb_z×k

Отсюда следует a_x=λb_x     a_y=λb_y      a_z=λb_z 

То есть =λ  ; =λ  ;  =λ  ИЛИ ₌₌

Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты,коллинеарны. 

Скалярное произведение векторов и его свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. a×b=|a|×|b|×cosφ. Если хотя бы один из векторов равен 0,то скалярное произведение равно 0.  
 

Свойства:

1)переместительное(коммунитативность):  a · b = b · a

a·b=|a|·|b|·cosφ    и также  b·a= |b|·|a|·cosφ

2)распределительное:  a · (b + c) = a · b + a · c

3)Сочетательное (линейность) относительно скалярного множителя:  k · (a · b) = (k · a) · b = a · (k · b) .

4)Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:  a · a = |a|² (норма вектора)

a²=a·a=|a|·|a|·cos0=|a|·|a|=|a|²

5)если  вектора a и b взаимно перпендикулярны,то есть ортогональны,то их скалярное произведение равно нулю,так как cos90°=0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выражение скалярного произведения ч/з координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены, пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k . 

То есть

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат. 
 
 

Уравнение пучка прямых

Пучком  прямых на плоскости называется множество  всех прямых данной плоскости, имеющих  одну общую точку, которая называется центром пучка. пучком прямых называют множество всех прямых, проходящих через заданную точку. Так как все прямые проходят через одну и ту же точку с координатами М₀ (x₀;y₀),то координаты этой точки удовлетворяет уравнениями этих прямых,то есть y₀=kx+b. Вычитая это равенство из y=kx+b,получим y-y₀=k(x-x₀) –это уравнение пучка прямых. Уравнением пучка прямых можно описать любую прямую пучка кроме прямой, перпендикулярной оси Ox,так как в этом случае угловой коэффициент такой прямой не определен. Несобственным пучком прямых называется совокупность прямых, параллельных фиксированной прямой (центром несобственного пучка прямых считается бесконечно удаленная точка плоскости). 
 
 
 
 
 
 

Уравнение прямой, проходящей ч/з 2 точки на плоскости и в пространстве

На  плоскости. Пусть прямая проходит через точки М₁(x₁;y₂) и М₂(x₂;y₂). Уравнение прямой, проходящей через точку М₁ имеет вид y-y₁=k(x-x₁), где k-пока неизвестный коэффициент, который мы будем находить.

Т.к. прямая проходит ч/з точку M₂(x₂;y₂), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению

y-y₁=k(x-x₁). Отсюда выражаем k: k подставляя найденное значение k в уравнение ,получим уравнение прямой, проходящей ч/з две точки: 
 

В пространстве. Пусть прямая L проходит ч/з точки

М₁(x₁;y₁;z₁) и М₂(x₂;y₂;z₂)/ в качестве направляющего вектора S можно взять вектор М₁М₂=(x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁),

то есть S=M₁M₂. Следоват-о m=x₂-x₁, n=y₂-y₁, p=z₂-z₁.

Поскольку прямая проходит ч/з точку М₁(x₁; y₁; z₁),

То уравнение  имеет вид. Уравнение называется уравнением прямой, проходящей ч/з две данные точки в пространстве: 
 
 
 
 
 

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

1.условие  параллельности. 

Если  прямые y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂ параллельны, следовательно α=0, значит tgα=0. Из формулы нахождения угла между прямыми  tgα следует k₁=k₂

k₁=k₂ – условие параллельности прямых. Равенство угловых коэффициентов является необходимым условием параллельности двух прямых

2. условие перпендикулярности

Если  две прямые перпендикулярны, то α=.

Так как tgα= не существует, то ctgα или  

ctgα=  → 1+ k₁×k₂=0  → k₁×k₂= ─1 

k1×k2=─1 –условие перпендикулярности прямых. для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку. 
 
 
 
 
 

Окружность. ее каноническое уравнение

Простейшей кривой второго порядка  является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром M₀ в точке называется множе­ство всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию M₀M = R. Пусть точка M₀  в прямоугольной системе координат Oxy имеет координаты x₀, y₀ а M(x; y)— произвольная точка окружности.

Тогда из условия M0M=R получаем каноническое  уравнение окружности (используя формулу расстояния между двумя точками)

Уравнению удовлетворяют координаты любой точки   данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. 

Эллипс. каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множ-во всех точек плоск-и, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называется фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

F1(-c; 0)  и F2(c; 0)-фокусы. 2c-расстояние между ними, 2а-это сумма расстояний от М до F1 и F2. → 2a > 2c,

Пусть M(x;y) — произвольная точка эллипса. Тогда MF1+MF2=2a,то есть  Это уравнение эллипса. приведем его к простому виду:

Так как  a > с , то a² – c² >0 тогда

Тогда последнее уравнение примет вид  b²x² + a²y² = a²b²

Или Оно называется каноническим уравнением эллипса.

E=- эксцентриситет гиперболы, где а -  расстояние от центра гиперболы до ее вершины. 
 
 
 
 
 
 
 
 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

умножение матрицы на число и его свойства

произведением матрицы А на число ƛ называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента данной матрицы на это число

свойства: