Терия вероятности

1.14. Событие В есть частный случай события А, т.е. из появления события В следует, что событие А произошло. Следует ли из , что произошло? Следует ли из событие ?

Решение

Изобразим с помощью кругов Эйлера:

 изображает часть, не входящую в круг В, , изображает часть, не входящую в круг А.

Из условия  , следует что , то есть из события следует событие . 

2.14. Буквы а, а, в, к, к, о, x написаны на отдельных карточках. Какова вероятность того, что извлекая эти карточки по одной наудачу (без возвращения обратно), получим в порядке их выхода слова "Каховка"?

Решение

Пусть событие А={выход слова «Каховка»}

А1={1-ая появившаяся буква будет «к»}

Р(А1)=m/n=2/7, так как всего букв 7, из них букв «к» - 2.

А2={2-ая появившаяся буква будет «а»}

Р(А2)=m/n=2/6, так как оставшихся букв 6, из них букв «а» - 2.

А3={3-ая появившаяся буква будет «х»}

Р(А3)=m/n=1/5, так как оставшихся букв 5, из них букв «х» - 1.

А4={4-ая появившаяся буква будет «о»}

Р(А4)=m/n=1/4, так как оставшихся букв 4, из них букв «о» - 1.

А5={5-ая появившаяся буква будет «в»}

Р(А5)=m/n=1/3, так как оставшихся букв 3, из них букв «в» - 1.

А6={6-ая появившаяся буква будет «к»}

Р(А6)=m/n=1/2, так как оставшихся букв 2, из них букв «к» - 1.

А7={7-ая появившаяся буква будет «а»}

Р(А7)=m/n=1/1, так как оставшихся букв 1, из них букв «а» - 1.

По теореме  умножения вероятностей имеем:

Р(А)=р(А1)*р(А2)*р(А3)*р(А4)*р(А5)*р(А6)*р(А7)

Р(А)=2/7*2/6*1/5*1/4*1/3*1/2*1=0,00079 

2.44. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков кратна 5.

Решение

Возможны  следующие варианты:

{11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66}

Из них  условию «сумма выпавших очков кратна 5» удовлетворяют:

«14,23,32,41»

Р=m/n, где n – сумма всех возможных вариантов, m – число случаев, удовлетворяющих требованию.

n=36, m=4, значит

р=4/36=1/9 

3.14. В студии телевидения имеется три телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя  бы  одна камера.

Решение

Вероятность появления хотя бы одного события  вычисляется по формуле:

Р=1- , где q – вероятность непоявления события.

Из задачи, р=0,6, значит q=1-p=1-0,6=0,4.

Так как  камер 3, и их вероятности равны, следует,

 

3.44. Пусть вероятность оплаты в кассе выписанного у продавца чека равна 0,99. Найти вероятность того, что из 100 выписанных чеков хотя  бы один окажется неоплаченным.

Решение

Вероятность появления хотя бы одного неоплаченного чека равна 1 минус вероятность того, что все чеки оплачены, то есть:

Р=1-р1*р2*….*р100,

р1 –  вероятность оплаты первого чека, р2 – вероятность оплаты второго  чека, …р100 – вероятность оплаты сотого  чека.

р1=р2=…=р100=0,99, следует,

р=1-0,99 =1-0,366=0,634 

4.14. Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую извлеченную наудачу кость можно будет приставить к первой.

Решение

Вторую извлеченную наудачу кость  можно  будет приставить к первой, если количество точек на одной стороне совпадет.

Пусть событие А={вторая извлеченная кость содержит кол-во точек, совпадающее с первой частью первой кости},

событие В={вторая извлеченная кость содержит кол-во точек, совпадающее со второй частью первой кости}.

Всего костей домино: 
 
 
 

4.44. Вероятность попадания снаряда в башню танка при одном выстреле равна - 0,2,  в корпус - 0,6 и в гусеницу - 0,1. При попадании снаряда в башню танк поражается с вероятностью 0,3,  в корпус - с вероятностью 0,1 и в гусеницу - с вероятностью 0,4. Одним выстрелом танк был поражен. Определить вероятность того,  что снаряд попал в башню;  в корпус; в гусеницу.

Решение

Решаем, использую формулу Бейеса:

А={танк был поражен}

В1={снаряд попал в башню}

Р(В1)=0,2

=0,3 (При попадании снаряда в башню танк поражается с вероятностью 0,3)

В2={снаряд попал в корпус}

Р(В2)=0,6

=0,1

В3={снаряд попал в гусеницу}

Р(В3)=0,1

=0,4

Вычислим  вероятность того,  что снаряд попал в башню:

Вычислим  вероятность того,  что снаряд попал в корпус:

Вычислим  вероятность того,  что снаряд попал в гусеницу:

 

5.14. В мастерской имеется 12 моторов. При существующем режиме  работы вероятность того, что мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того,  что в данный момент не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой.

Решение

Вероятность того,  что в данный момент не менее 10 моторов работает с полной нагрузкой  равна вероятности того, что с  полной нагрузкой работают 10 моторов, или 11 моторов, или 12 моторов.

А1={ с полной нагрузкой работают 10 моторов }

А2={ с полной нагрузкой работают 11 моторов }

А3={ с полной нагрузкой работают 12 моторов }

Используем  формулу Бернулли:

, р=0,8, q=1-0,8=0,2

P(А)=р(А1)+р(А2)+р(А3)=0,28+0,2+0,068=0,548 

5.44. Вероятность производства  стандартной детали в некоторых условиях равна 0,98. Найти наивероятнейшее число стандартных среди 625 деталей.

Решение

Наивероятнейшее число k0  определяют из двойного неравенства

                           np--q ko < пр + р,

Из условий  задачи имеем: n=625, p=0,98, q=1-0,98=0,02

np-q=625*0,98-0,02=612,48

np+q=625*0,98+0,98=613,48

Значит, к0 –  целое число из промежутка : (612,48; 613,48), то есть, наивероятнейшее число  стандартных  среди  625 деталей равно 613. 

6.14. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения:  с вероятностью P₁ = 0,5,  x₂ = 6 с вероятностью P₃ = 0,3 и x₃ с вероятностью P₃. Найти x₃ и P₃ , зная, что М[X] = 8.

Решение

М(Х)=х1р1+х2р2+х3р3

М(Х)=4*0,5+6*0,3+х3р3

М(Х)=2+1,8+х3р3

Так как  сумма вероятностей равна 1, то р3=1-р1-р2=1-0,5-0,3=0,2

8=3,8+0,2х3

0,2х3=4,2

х3=4,2/0,2=21

Значит, х3=21, р3=0,2 

7.14. Дана плотность вероятности случайной величины X:      Построить графики функций f(x) и F(x). Найти вероятность попадания случайной величины X в интервал ( -1; 1)  и показать ее на графиках.

Решение

Находим функцию F(x)

,

когда х принадлежит  промежутку (- , )

Тогда

вероятность попадания случайной величины X в  интервал ( -1; 1) равна:

График  плотности распределения:

 
 
 
 

 1/

 1/2

      -  

График функции F(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8.14. Плотность распределения вероятностей  случайной величины Х имеет вид:

                                                     

Найти  функцию распределения случайной  величины  Х  и построить  ее  график. Вычислить  и . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между 2,5 и 3,5.

Решение

Функция распределения равна:

, когда 2<x<5

M(X)=

 

9.14. Бомбардировщики сбросили бомбы на мост длиной 60 м и шириной 12 м. Рассеивание попаданий происходит по нормальному закону с дисперсией, равной 225 м² по длине и 36 м²  по  ширине, средняя точка попаданий - центр моста. Рассеивания по длине и ширине независимы. Найти вероятность попадания в мост при сбрасывании одной бомбы.

Решение

Нормальный  закон распределения на плоскости, в случае, если х и у независимы, равна:

 
 

1.15. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных  концентрическими окружностями  с радиусами (к=1,2,...,10), причем  r₂< r₂< ...< r₁₀. Событие А_k – попадание в круг радиусом r_k. Что означают события . Что представляет собой событие ?

Решение

Событие показывает, попадание в какой-либо круг из кругов А1, А2, А3, А4, А5, А6.

Событие показывает попадание одновременно во все круги А1-А10, то есть, в круг А1, который содержится во всех кругах.

Событие показывает попадание в часть круга А2, не содержащую А1. 

2.15. Телефонный номер состоит из пяти цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

Решение

Пусть А1={первая цифра номера}

А2={2-ая цифра номера, отличная от первой}

А3={3-ая цифра номера, отличная от первой и второй}

А4={4-ая цифра номера, отличная от первой, второй, третьей}

А5={5-ая цифра номера, отличная от первой, второй, третьей, четвертой}

Р(А1)=1

Р(А2)=1/9, то есть любая цифра из 9 оставшихся

Р(А3)=1/8,

Р(А4)=1/7

Р(А5)=1/6

То теореме  умножения вероятностей, р=р(А1)*р(А2)*р(А3)*р(А4)*р(А5)

Р=1*1/9*1/8*1/7*1/6=0,00033