Терия вероятности

Так как  карт вынимают 3, и их вероятности  равны, следует,

 

3.7. У сборщика  имеется 16  деталей, изготовленных заводом № 1 и 4 детали -заводом № 2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность  того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

Решение

Вероятность появления хотя бы одного события  вычисляется по формуле:

Р=1- , где q – вероятность непоявления события, то есть вероятность того, что деталь окажется изготовленной заводом №2.

Из задачи, q=m/n=4/20=0,2 ; где n – количество всех деталей, m- количество деталей, изготовленных заводом №2 .

Так как  взяты 2 детали, и их вероятности  равны, следует,

Вероятность  того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1 равна 0,96. 

4.6. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров. Во втором ящике 10 белых и 10 черных шаров. В третьем ящике 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что шар вынут из первого ящика.

Решение

Решаем, использую формулу Бейеса:

А={вынули белый шар}

В1={шар вынут из первого ящика}

Р(В1)=1/3

=m/n=20/20=1 (шар, вынутый из первого ящика, оказался белым)

В2={шар вынут из второго ящика}

Р(В3)=1/3

=m/n=10/20=0,5 (шар, вынутый из второго ящика, оказался белым)

В3={шар вынут из третьего ящика}

Р(В3)=1/3

=m/n=0/20=0 (шар, вынутый из третьего ящика, оказался белым)

Тогда:  

 

4.7. В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью P кроме того,  в автобусе с вероятностью P₀  не входит ни один новый пассажир, с вероятностью 1-P₀ входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки,  в нем будет по-прежнему n пассажиров. (Предполагается, что более одного пассажира войти не может). 

5.6. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток не превысит  установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что  в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение

Используем  формулу Бернулли:

, где: n=6, k=4, p=0,75, q=1-p=0,25

Вероятность того, что  в ближайшие 6 суток  расход электроэнергии в течение 4 суток  не превысит нормы равна 0,296. 

5.7. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что цель будет поражена от 200 до 250 раз в серии  из 600 выстрелов.

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где:  ,

n=600, k1=200, k2=250, p=0,4, q=1-p=1-0,4=0,6

тогда:

По таблице  находим значения функции Ф.

Ф(-3,33)=-0,49946

Ф(0,83)=0,2967

0,2967+0,49946=0,79616 

6.6. Известно, что в партии  из  20 телефонных аппаратов имеется 5 неисправных. Из партии выбрано 4 аппарата. Найти закон распределения, математическое  ожидание  и  дисперсию числа неисправных аппаратов среди отобранных. Построить функцию распределения. Определить вероятность  того, что  число  неисправных  аппаратов  среди отобранных будет не более двух.

Решение

Составляем  закон распределения:

Находим вероятности:

Используем  формулу Бернулли:

, n=4, p=5/20=0,25, q=1-p=0,75

=0,316

0,421

0,21

0,092

0,004

Получаем:

 

Математическое  ожидание:

М(Х)=4*0,004+3*0,092+2*0,21+1*0,421+0*0,316=1,13

Дисперсия:

Д(Х)=М(Х )-(М(Х))

Д(Х)= 16*0,004+9*0,092+4*0,21+1*0,421+0*0,316-1,13 =0,87

Функция распределения:

Вероятность  того, что  число  неисправных  аппаратов  среди отобранных будет не более двух равна: р=р(х=0)+р(х=1)+р( х=2)=0,72 

6.7. Вероятность изготовления  нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки  качества изготовляемых изделий отдел технического контроля берет из партии не более 4-х деталей. При обнаружении  нестандартного  изделия  вся партия  задерживается. Составить закон распределения числа изделий, проверяемых из каждой партии. Найти математическое ожидание, среднее  квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение

Составляем  закон распределения:

Находим вероятности:

Используем  формулу Бернулли:

, n=4, p=0,1, q=1-p=0,9

 

Математическое  ожидание:

М(Х)=0*0,6561+1*0,2916+2*0,0486+3*0,0036+4*0,0001=0,4

Дисперсия:

Д(Х)=М(Х )-(М(Х))

Д(Х)= 0*0,6561+1*0,2916+4*0,0486+9*0,0036+16*0,0001-0,16=0,3114

Среднее квадратическое отклонение  

7.6. Случайная величина X  распределена  по "Закону  прямоугольного треугольника"  в интервале (0, а).

                                          f(x)

 

                                                                            x

                                                                ^{0                   а}

Написать  выражение плотности распределения. Найти  функцию  распределения. Найти  вероятность попадания случайной величины X на участок от а/2 до а. Найти характеристики случайной величины  Х: .

Решение

Плотность f(x) равна 0, если x  не принадлежит  промежутку [0,a], равна  , если x  принадлежит промежутку [0,a].

Функция распределения F(X):

Функция распределения равна:

, когда 0<x<a

Вероятность попадания случайной величины X на участок от а/2 до а:

M(X)=

=

 

7.7. Известна функция распределения срока службы блока  

                                              

Найти коэффициент K .Найти средний срок службы и дисперсию срока службы блока. 

8.6. Случайная величина Х, возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения   F(x) = .  Найти математическое ожидание этой случайной величины. 

8.7. Случайная величина X подчинена показательному закону с параметром :

                                                 

Построить кривую распределения. Найти функцию распределения. Найти  вероятность  того, что  случайная величина X  примет меньшее значение, чем ее математическое ожидание. 

9.6. Случайная величина  X  распределена по нормальному закону с парамет-рами a = 30, = 10. В какой интервал с вероятностью практической достоверности 0,997 попадут значения случайной величины  X?

 

10.6. Система (X,Y) задана следующей двумерной таблицей распределения вероятностей:

                          X     0            1        2          3         4             5            6           

                    Y

                        0       0,202   0,174  0,113   0,062    0,049     0,023     0,004       

                        1          0       0,099  0,064   0,040    0,031     0,020     0,006

                        2          0          0      0,031   0,025    0,018     0,013     0,008

                        3          0          0         0       0,001    0,002     0,004     0,011

Найти вероятность  и корреляционную матрицу. 

10.7. Однотипные детали в зависимости от  точности  изготовления различаются по  форме на круглые и овальные,  а по весу - на легкие и тяжелые.  Вероятности того, что взятая наудачу деталь окажется круглой и легкой,  овальной и легкой,  круглой и тяжелой,  овальной и тяжелой, соответственно равны  . Взята одна деталь. Найти математические  ожидания  и дисперсии числа круглых деталей X и числа легких деталей Y, а также корреляционный момент k_xy между числом круглых и числом легких деталей, если = 0,40,  = 0,05, = 0,10. 

11.6. Плотность совместного распределения системы случайных величин X, Y:

  . Найти коэффициент A. Найти законы  распределения  случайных  величин X, Y. Установить, зависимы или нет случайные величины X, Y.

 

11.7. Система двух  случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью совместного распределения:  . Определить коэффициент A и найти радиус круга с центром в начале координат, вероятность попадания в который равна P.