Задачи по "Математике"

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

I. Полное  приращение  и полный дифференциал .  Инвариантность

формы первого  дифференциала.

     Пусть функция   z(f,y)  дифференцируема по x и y .

Приращение функции  называют полным приращением.

     Полное приращение  функции весьма сложно выражается  через приращения независимых  переменных   Dx , Dy   . Можно показать, что

                             , где       .

Сумма  называется полным дифференциалом функции   z=f(x,y) .

Определение: полным дифференциалом функции двух независимых 
                             переменных называется главная часть полного приращения   
                             функции,  линейная относительно приращений независимых  
                             переменных.

                                    ,  Dx=dx,  Dy=dy                                           (1)

Теорема: полный дифференциал функции двух независимых переменных равен 
                сумме произведений частных производных функции на дифференциалы       
                соответствующих независимых переменных.

Доказательство:

     Формула (1) справедлива при произвольных   dx и dy. В частности, при dy=0:

                                                  

Аналогично доказывается, что 

Тогда           или    

то есть дифференциал функции  двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение: функция двух независимых переменных,  имеющая в некоторой  
                         точке дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Теорема: если функция z=f(x,y)  имеет в точке P(x,y)  непрерывные частные  
                 производные   , то в этой точке функция дифференцируема.

Теорема:  полный дифференциал функции z=f(u,v)  сохраняет один и тот же вид  
                 независимо от того, является ли ее аргументы  u  и v  независимыми 
                 переменными или функциями от независимых переменных.

     Если  u  и v   - независимые переменные, то

                                                  

Пусть u  и v  - функции переменных  x и y .

Тогда  z   - функция переменных  x и y и ее дифференциал

                                                  

Или

             

 

Таким образом, и для функций  двух независимых переменных имеет  место свойство инвариантности формы первого дифференциала функции.

     Пусть  u,  v  , w   - функции любого числа независимых переменных.

Тогда справедливы следующие  формулы:

                               

    

II. Частные производные высших порядков.

     Пусть  функция z=f(x,y)   имеет частные производные . Эти производные в свою очередь являются функциями переменных   x  и y. Частные производные от этих функций называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка.

     Каждая  производная первого порядка  имеет две частные производные

                                  

Производные называются смешанными.

Теорема: вторые смешанные производные функции z=f(x,y)  при условии их  
                 непрерывности равны между собой

                                                      .

Таким образом, функция двух переменных   f(x,y)    имеет при указанных условиях не четыре, а только три производные второго порядка.

     Теорема  о  равенстве вторых смешанных  производных позволяет доказать  общее положение:    

результат повторного дифференцирования функции двух независимых    переменных не зависит от порядка дифференцирования (при условии   непрерывности частных производных):

 

                               

 

III. Полные дифференциалы высших порядков.

     Полный дифференциал  функции   z=f(x,y)

                                              

зависит от независимых  переменных x и y и от их дифференциалов. Дифференциалы   dx  и dy  не зависят от переменных  x и y  .

Определение: полным дифференциалом второго порядка называется полный  
                         дифференциал от полного дифференциала первого порядка   dz:

 

                       

 

IV. Дифференцирование сложных функций.

     Пусть  задана дифференцируемая функция    z=f(u,v) . Ее приращение можно представить в виде

                                                                                               (2)

где a   - бесконечно малая величина.

Предположим, что  u   и v   в свою очередь являются дифференцируемыми функциями независимой переменной   x, то есть u=j(x),   v=y(x).

Тогда  сложная функция переменной x . Придадим x     приращение  Dx. Тогда u и v получат соответственно приращения Du и Dv, а функция z - приращение Dz:

                                                                                                (3)

Разделим (3) на  Dx  и перейдем к пределу при   . Учитывая, что

                             

получим                                                 

     Данная  формула является  обобщением  правила  дифференцирования сложной  функции одной переменной.

     Пусть  теперь  z   является сложной функцией двух переменных x  и y, то есть  z=f(u,v), где u=j(x,y), v=y(x,y). Тогда

      Чтобы найти   , необходимо считать y=const , но тогда и u, и v  становятся функциями только одной переменной   x. То есть для вычисления данной производной можно использовать формулу (2), заменив обыкновенные производные на частные

                                                        

Аналогично

                                                        

 

     Частная  производная  сложной  функции  равна сумме произведений частных производных от заданной функции по промежуточному  аргументу на частные производные этих аргументов u и v по соответствующей независимой переменной x   и y.

     Сформулированное  правило  дифференцирования сложной функции остается справедливым для функции любого числа независимых переменных.

 

V. Дифференцирование неявных функций.

     Неявная   функция  одного  переменного   определяется  уравнением F(x,y)=0, двух переменных – уравнением F(x,y,z)=0  и т.д. Иногда такое уравнение может  и  не  определять  функцию.  Например, уравнение не имеет никаких действительных корней, а значит, мы не можем рассматривать z как функцию от x и y.

Теорема: пусть функция    F(x,y)  определена и непрерывна в какой-нибудь  
                 окрестности точки , причем . Если в этой  
                 окрестности ее частные производные    и    непрерывны и       
                  в точке , то уравнение в некоторой окрестности точки  
                   определяет  y  как однозначную и непрерывную функцию x: 
                  y=j(x), такую, что , причем она имеет непрерывную  
                  производную.

     Пусть  уравнение F(x,y)=0 определяет  y  как некоторую однозначную и дифференцируемую функцию   y=j(x)   независимой переменной  x. Если в уравнение подставить вместо y   функцию j(x)  , то получим тождество

                                                         F(x, j(x))=0.

По правилу  дифференцирования сложной функции  найдем

                                         

Полученная  формула является выражением для производной неявной функции одной независимой переменной.