Задачи по "Математике"

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

 

1. Необходимый признак экстемума.

Определение: точка   называется точкой экстремума функции z=f(x,y), если  
                        значение  функции в этой точке соответственно больше или меньше  
                        значений, принимаемых ею в некоторой окрестности точки   P₀   .

     Установим  необходимый признак или условия,  при которых функция достигает  в точке  экстремума.

Необходимый признак экстремума:

     если функция   z=f(x,y)  дифференцируема при x=x₀, y=y₀ и достигает в ней  
     экстремума, то в этой точке равны нулю ее частные производные:

                                           

Доказательство:

     Допустим, что z=f(x,y) имеет в экстремум. Согласно определению экстремума функции z=f(x,y) при постоянном  y=y₀   как функция одного x    достигает экстремума при x=x₀ . Необходимым условием для этого является равенство нулю производной

                                            

Аналогично, функция   z=f(x,y)  при постоянном x=x₀ , как функция одного y, достигает экстремума при   y=y₀. Значит

                                            

что и требовалось доказать.

     Точка   , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции z=f(x,y), называется стационарной точкой функции z=f(x,y) .

     Уравнение  касательной плоскости к поверхности   z=f(x,y)

                           

для стационарной точки       принимает вид    z=z₀.

Для отыскания стационарных точек функции  z=f(x,y)  нужно приравнять нулю обе ее частные производные

                                             

 

II. Достаточные условия экстремума.     Пусть точка    является стационарной точкой функции z=f(x,y). Вычислим в этой точке значение вторых частных производных функции   z:

                         

Если    , то функция f(x,y) имеет в точке P₀  экстремум:

                                                                                              максимум   при   A<0 (C<0),

                                                                                              минимум     при   A>0 (C>0).

Если   , то P₀ не является точкой экстремума.

Если  , то никакого заключения о характере стационарной точки сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.

 

III. Правила для отыскания экстремумов.

     Для того, чтобы  найти точки экстремума и экстремальные  значения функции  z=f(x,y)  в заданной области, нужно:

     1) приравнять  частные производные к нулю

                              

и найти действительные корни  этой системы двух уравнений. Каждая пара корней определяет стационарную точку функции.  Среди всех стационарных точек нужно взять те, которые  лежат в заданной области;

     2) вычислить  значение выражения    ,

где  в каждой стационарной точке.

     При этом

      а) если  , то имеем экстремум:  максимум  при   A<0 (C<0),

                                                                                 минимум при   A>0 (C>0).

      б) если   , то экстремума нет;

      в) если    , то требуется дополнительное исследование;

     3) вычислить   экстремальные  значения,  подставляя  в выражение функции координаты точек экстремума.

 

IV. Наибольшее и наименьшее значения функции.

     Пусть требуется  найти наибольшее и наименьшее  значения  функции  z=f(x,y) в некоторой области,  рассматриваемой вместе со своей границей.

     Если  какое-либо из этих значений  достигается  функцией  внутри  области, то оно, очевидно, является  экстремальным. Но может случиться,  что наибольшее или наименьшее  значение  принимается  функцией  в некоторой точке, лежащей  на границе области.

     Из сказанного следует правило:

для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее  значения  функции z=f(x,y) в  замкнутой области,  нужно найти все максимумы или минимумы функции,    достигаемые внутри этой области,  а также наибольшее или наименьшее   значения функции на границах области.  Наибольшее  из всех этих чисел и будет   искомым наибольшим значением, а наименьшее - наименьшим.

 

V. Условный экстремум.

     Пусть  задана функция   z=f(x,y)  и линия L   на плоскости 0xy. Задача состоит в том, чтобы на линии L  найти такую точку P(x,y) , в которой значение функции   z=f(x,y)  является наибольшим или наименьшим по  сравнению со значениями этой функции в точках линии L. Такие точки P называются точками условного экстремума функции   z=f(x,y) на линии   L.  В отличие от обычной точки экстремума значение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой ее окрестности,  а только в тех, которые лежат на линии L.

     Очевидно, что точка обычного экстремума является и  точкой  условного экстремума для любой линии,  проходящей через эту точку.  Но точка условного экстремума может и не быть точкой обычного экстремума.

     Найдем  точки условного экстремума функции    z=f(x,y)  на линии L, заданной уравнением j(x,y)=0, которое называется уравнением связи.

     Если  из уравнения связи можно явно  выразить  y  через x, то, подставляя в уравнение z=f(x,y), получим z  как функцию одной переменной:

                                          

Найдя значения   x, при которых эта функция достигает экстремума, и определив затем из уравнения связи соответствующие им значения  y, мы и получим искомые точки условного экстремума.

     Задача  на условный экстремум сводится  к задаче  отыскания  экстремума функции одной переменной и в том случае, если уравнение связи задано параметрическими уравнениями:

                                       

     Если  уравнение связи имеет более  сложный вид и не удается  явно выразить одну переменную через другую,  то задача отыскания условного экстремума становится более трудной.

     Запишем  полную производную от функции    z=f(x,y)   по  x

        где

     В  точках  условного  экстремума  полная производная должна равняться нулю. Кроме того, переменные и должны удовлетворять уравнению связи. Таким образом, задача сводится к решению системы двух уравнений относительно двух неизвестных:

                                            .

     Преобразуем  первое уравнение к виду

                                                         

где   l- некоторое действительное число.  Тогда приходим к трем уравнениям

                                                                                                                  (1)

относительно  неизвестных   x, y,  l.

     Уравнения  (1) легче запомнить при помощи  следующего правила:

для того,  чтобы найти точки, которые  могут быть точками условного экстремума функции    z=f(x,y)    при уравнении связи   j(x,y)=0 , нужно образовать вспомогательную функцию                                               где l=const и составить уравнения для отыскания точек экстремума этой функции.

Указанный прием  решения задач называется методом множителей Лагранжа.

     Система  (1) дает только необходимые условия  экстремума. Не всякая пара x  и y  из (1) является точкой условного экстремума.