Изучение затухающих электромагнитных колебаний с помощью осциллографа

Дата       Фамилия       Группа

 

Лабораторная  работа №45

 

I.Название работы:

Изучение колебательного контура

Цель работы

Изучение колебательного контура и его характеристик

II.Краткое теоретическое обоснование:

 

Колебания в  колебательном контуре

Колебательные процессы широко распространены в природе и технике. Примером колебаний различных физических величин являются колебания маятников, струн, мембран телефонов, звук, свет, а также переменный электрический ток, представляющий собой электрические колебания. Для всех этих явлений характерна общность закономерностей и математических методов исследования. Так, например, процессы, протекающие при электрических колебаниях, аналогичны процессам, протекающим при механических колебаниях.

Простейшей колебательной  системой и механике является груз, подвешенный на пружине и движущейся без трения (рис.1).Груз, выведенный из положения равновесия, совершает гармонические колебания, при которых смещение из положения равновесия изменяется со временем по закону синуса. Когда груз находится в крайних положениях (1 и 3), его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия достигает максимального значения. При прохождении равновесия (2 и 4) потенциальная энергия становится минимальной, а кинетическая энергия груза достигает максимального значения. Мы имеем в данном случае периодическое превращение кинетической энергии системы в потенциальную и обратно. Подобные превращения энергии наблюдаются и при электрических колебания.

Электрические колебания могут возникнуть в замкнутой цепи, содержащей индуктивность, и емкость. Такая цепь называется колебательным контуром (рис.1)

 Рассмотрим колебательный контур, состоящий из конденсатора емкости C, катушки с индуктивностью L и ключа K (рис.2). Предположим, что омическое сопротивление цепи равно нулю. При разомкнутом ключе K зарядим конденсатор до разности потенциалов φ₁ − φ₂ = U_с, подключив его к источнику тока. На обкладках конденсатора появятся разноименные заряды величины Q₀, и между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна

Если замкнуть ключ K, то конденсатор начнет разряжаться, в цепи возникнет электрический ток i, изменяющийся с течением времени. Наличие тока в цепи приведет к возникновению магнитного поля, которое в основном будет сосредоточено внутри катушки. Энергия электрического поля будет уменьшаться со временем, а энергия магнитного поля − увеличиваться. Через некоторое время конденсатор разрядится полностью, электрическое поле исчезнет совсем, а энергия магнитного поля достигнет и максимального значения:

При этом вся энергия электрического поля превратиться в энергию магнитного поля, так как потери энергии на нагревание не происходит.

В последующие моменты времени магнитное поле начнет исчезать, потому что отсутствуют токи, его поддерживающие. Исчезновение магнитного поля приведет к возникновению индукционного тока, который в соответствии с законом Ленца будет стремиться поддержать ток разряда конденсатора и будет, иметь с ним одно направление. Поэтому конденсатор перезарядится, и между его обкладками возникнет электрическое поле противоположного направления.                                                                                                                                                                                                                                                    Через некоторое время магнитное поле исчезает совсем, а его энергия снова превратится в энергию электрического поля. В дальнейшем те же процессы будут протекать в обратном порядке, система придет в первоначальное состояние, и весь процесс будет повторяться снова. Таким образом, в контуре возникнут электрические колебания заряда на обкладках конденсатора, напряжения на конденсаторе и силы тока  в цепи. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергии электрического и магнитного полей. Такие колебания, происходящие под действием процессов в самом колебательном контуре, называются собственными электрическими колебаниями. Если омическое сопротивление контура равно нулю, то процесс периодического превращения электрической энергии в магнитную и обратно будет продолжаться сколь угодно долго, т.е. колебания будут незатухающие.

Собственные незатухающие колебания можно описать с  помощью математических уравнений.

Будем считать что, ток, текущий в контуре при разрядке конденсатора, квазистационарный т.е. в каждый момент времени сила тока во всех сечениях контура одинакова. Тогда для мгновенного значения электрических величин можно применить законы постоянного тока. Применим для рассматриваемого контура второй закон Кирхгофа, согласно которому сумма падений напряжения в контуре равна сумме действующих в нем ЭДС

                                                            U_c = E_c                                                             (1)

где E_c − ЭДС самоиндукции.

Учитывая, что

уравнение (1) перепишем  в виде

или

Обозначив 1 / LC через ω₀², получим дифференциальное уравнение собственных незатухающих колебаний

Решением этого уравнения является функция

                                                        Q = Q₀ cos (ω₀t + φ)                                            (2)

показывающая, что заряд  на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону

В (3) Q₀ − амплитуда колебаний, φ − начальная фаза, а ω₀ − частота собственных незатухающих колебаний, равная

Период собственных  незатухающих колебаний равен:

или

Формула (4) называется формулой Томсона

Одновременно с зарядом  колеблются напряжение на обкладках  конденсатора и сила тока в цепи. Эти колебания совершаются по следующим законам:

где U₀ − амплитуда напряжения, а l₀ − амплитудное значение тока.

Сравнивая (3), (5) и (6), видим, что сила тока, заряд и напряжение изменяются по гармоническому закону. Но между напряжением и током  существует разность фаз.

Собственные затухающие колебания

В реальных колебательных  контурах омическое сопротивление всегда отлично от нуля. Вследствие этого энергия, первоначально запасенная в контуре, непрерывно расходуется на выделение ленц − джоулева тепла, что приводит к затуханию собственных колебаний.

Найдем уравнение затухающих колебаний. Для этого рассмотрим контур, содержащий, кроме индуктивности L и емкости C, омическое сопротивление R (рис.3). При разомкнутом ключе K зарядим конденсатор до напряжения U₀, затем цепь замкнем. При разрядке конденсатора в цепи возникнет ток i, изменяющийся со временем. Однако мгновенное значение силы тока будет удовлетворять всем законам постоянного тока. На основании второго закона Кирхгофа для данного контура можно записать

В этом выражении сделаем  замену величины

Тогда получим:

Разделив левую и  правую часть на L и обозначив

получим дифференциальное уравнение собственных затухающих колебаний

Решением этого уравнения  является колебания вида

где φ − начальная  фаза колебаний, определяющая колебательный  процесс в начальный момент времени (t = 0); ω₀ − циклическая частота затухающих колебаний, численно равная числу полных колебаний, совершаемых системой за 2π секунд; (ω₀ + φ) − фаза колебаний, определяющая колебательный процесс в любой момент времени; Q₀e ^βt − амплитуда колебаний.

Амплитуда колебаний

A = Q₀e ^βt

не является постоянной величиной, а с течением времени  непрерывно убывает. Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания

β = R / 2L

который численно равен  обратной величине времени, в течении которого амплитуда колебаний убывает в е раз.

Для количественной характеристики затухания колебаний пользуются логарифмическим декрементом затухания  δ, который равен натуральному логарифму  отношения двух последовательных амплитуд, отличающихся по времени на один период:

Физический смысл его  состоит в следующем: логарифмический  декремент затухания численно равен  обратной величине числа колебаний, совершаемых за время, в течении  которого амплитуда уменьшается  в е раз.

Циклическая частота  собственных затухающих колебаний ω₀ связана с частотой собственных незатухающих колебаний ω₀ соотношением

Затухающие колебания, строго говоря, не являются периодическим  процессом, они не имеют конечного  периода. Однако если затухание мало, т.е.

то их можно рассматривать как гармонические колебания с периодом

Из (9) и (10) видно, что для  собственных затухающих колебаний  циклическая частота меньше, а  период больше соответствующих частоты  и периода собственных незатухающих колебаний. При уменьшении сопротивления, когда R → 0, то ω^’₀ → ω₀ и T^’₀ → T₀, т.е. затухающие колебания переходят в незатухающие.

С увеличением сопротивления  контура R период собственных колебаний T₀ возрастает и при выполнении условия

т.е. когда

обращается в бесконечность. Это сопротивление называется критическим. Оно зависит от величины емкости и индуктивности. Если сопротивление контура превышает критическое

то электрические колебания  не возникают, и заряд конденсатора уменьшается монотонно, асимптотически приближаясь к нулю. Такой заряд конденсатора называется апериодическим.

Наряду с зарядом, напряжение на обкладках и сила тока в цепи тоже совершает затухающие колебания  с тем же периодом. Напряжение и  ток будут изменяться по следующим  законам:

Путем преобразований выражение (11) можно привести к виду:

где

Следовательно, при наличии  омического сопротивления в контуре  сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на π / 2.

Колебательный контур характеризуется  добротностью Q, которая вычисляется по формуле

Экспериментально добротность может быть найдена по затуханию как отношение числа π к логарифмическому декременту затухания:

В данной работе требуется  изучить зависимость периода T и добротности Q линейного колебательного контура от его параметров L, C, R.

III.Рабочие формулы и единицы измерения.

L = 2π √LC              Q = π / δ

IV.Схема установки.

V.Измерительные приборы и принадлежности.

Установка состоит из изучаемого колебательного контура LC₁ или LC₂ и ферромагнитного генератора коротких импульсов электрического напряжения. Генератор импульсов служит для периодического перемещения энергии и состоит из двух катушек, каждая из которых имеет две обмотки. Первичные обмотки W₁, являются перемагничивающимися, соединены между собой последовательно и питаются от сети переменного тока через конденсатор C₃, который ограничивается перемагничивающий ток. Вторичные, обмотки W₂ также соединены между собой последовательно, но навстречу друг другу. Если в одну из катушек генератора ввести ферромагнитный сердечник P, то на выходе AB появляется разность ЭДС, форма которой зависит от степени магнитного насыщения сердечника P. При достаточно сильных перемагничивающих полях эта разностная ЭДС имеет форму знакочередующихся коротких импульсов электрического напряжения

VI.Результаты измерения.

Таблица 1

Емкость	n	T, c	L, Гн
С1 = 0,015мкФ	12	20 • 10−3	0,0004
С2 = 0,04мкФ	5	40 • 10−3	0,0012

Таблица 2

С1 = 0,015мкФ				С2 = 0,04мкФ
Амплитуда колебаний U		Логарифмический декремент  δ	Добротность контура Q	Амплитуда колебаний U		Логарифмический декремент δ	Добротность контура Q
14	2	0,02	157	9	5	0,024	130,8