Электростатика

ДИПОЛЬ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

 

Рассмотрим два точечных заряда величиной +q и –q, жестко связанных между собой и смещенных на расстояние l друг от друга. Смещение обоих зарядов будем характеризовать вектором l, направленного от отрицательного заряда к положительному. Такую пару зарядов называют двойным электрическим полюсом или электрическим диполем.

 

 

 

Найдем силу, действующую на диполь в электрическом поле, причем будем  считать сначала, что поле однородно.

 

 +q

F

        l             

F -q a

E

 

 

На концы диполя действуют равные по величине силы F=qE, где Е – напряженность поля. Эти силы направлены в противоположные стороны и образуют пару сил. Момент М этой пары равен

M=qElsina,

где a - угол между вектором l и напряженностью поля Е.

Величина момента пары сил зависит  от произведения заряда q на длину диполя l. Это произведение называют моментом диполя. Момент диполя р есть вектор равный

P=ql,

который направлен так же, как  и l, т.е. от отрицательного заряда к положительному. Единица измерения момента момента электрического электрического диполя есть кулон-метр (к×м).

Пользуясь понятием момента  диполя, можно написать выражение  для момента пары сил, действующей  на диполь, в виде

М=рЕsin(p,E).

Направление момента этой пары совпадает  с направлением оси вращения диполя, т.е. перпендикулярно к p и Е.

Рассмотрим диполь в неоднородном в неоднородном поле и положим для простоты, что момент диполя параллелен направлению поля (a=0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                +q    F₁        Е

F₂            -q  

l

 

 

 

 

 

В этом случае силы, действующие  на концы диполя, уже неодинаковы  и поэтому их результирующая не равна  нулю. На диполь в неоднородном поле действует сила, стремящаяся передвинуть  диполь в область поля с большей  напряженностью.

Сила, действующая на отрицательный конец диполя, есть – qE, где Е – напряженность поля в точке нахождения заряда –q. Сила, действующая на положительный конец диполя, равна +q (E+dE/dxl), где l – длина диполя. Поэтому полная сила F оказывается равной

  .

В однородном поле dE/dx = 0 и результирующая сила равна нулю.

В неоднородном поле и не параллелен полю, то на диполь действуют и пара сил, стремящаяся  повернуть диполь параллельно полю, и сила, втягивающая диполь в область  более сильного поля.

 

Типы диэлектриков.  Поляризация диэлектриков

 

Диэлектрик (как и всякое вещество) состоит из атомов и молекул. Молекула в целом электрически нейтральна. Если заменить положительные заряды ядер молекул суммарным зарядом +Q, находящимся в центре «тяжести» положительных зарядов, а заряд всех электронов—суммарным отрицательным зарядом —Q, находящимся в центре «тяжести» отрицательных зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом. Первую группу диэлектриков (N₂, Н₂, О₂, CO₂, СН4, ...) составляют вещества, молекулы которых имеют симметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов в отсутствие внешнего электрического поля совпадают и, следовательно, дипольный момент молекулы р равен нулю. Молекулы таких диэлектриков называются неполярными. Под действием внешнего электрического поля заряды неполярных молекул смещаются в противоположные стороны (положительные по полю, отрицательные против поля) и молекула приобретает дипольный момент.

Вторую группу диэлектриков (Н₂О, NН_3, SO₂, CO,...) составляют вещества, молекулы которых имеют асимметричное строение, т. е. центры «тяжести» положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, эти молекулы в отсутствие внешнего электрического поля обладают дипольным моментом. Молекулы таких диэлектриков называются полярными. При отсутствии внешнего поля дипольные моменты полярных молекул вследствие теплового движения ориентированы в пространстве хаотично и их результирующий момент равен нулю. Если такой диэлектрик поместить во внешнее поле, то силы этого поля будут стремиться повернуть диполи вдоль поля и возникает отличный от нуля результирующий момент.

Третью группу диэлектриков (NaСl, KCl, KBr, ...) составляют вещества, молекулы, которых имеют ионное строение. Ионные кристаллы представляют собой пространственные решетки с правильным чередованием ионов разных знаков. В этих кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы, а рассматривать их можно как систему двух вдвинутых одна в другую ионных подрешеток. При наложении на ионный кристалл электрического поля происходит некоторая деформация кристаллической решетки или относительное смещение подрешеток, приводящее к возникновению дипольных моментов.

Схематически поляризованный диэлектрик неполярными молекулами можно изобразить:

 

 

 

    Е

 

 

 

 

Поляризованный диэлектрик полярными  молекулами можно изобразить:

 

 

 

Е

 

 

 

 

 

Поляризацией диэлектрика называется процесс ориентации диполей или появления под воздействием внешнего электрического поля ориентированных по полю диполей.

Соответственно трем группам диэлектриков различают  три вида поляризации:  электронная, или деформационная, поляризация  диэлектрика с неполярными молекулами, заключающаяся в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счет деформации электронных орбит; ориентационная, или дипольная, поляризация диэлектрика с полярными молекулами, заключающаяся в ориентации имеющихся дипольных моментов молекул по полю. Тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в результате совместного электрического поля и теплового движения возникает преимущественная ориентация дипольных моментов молекул по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряженность электрического поля и ниже температура; ионная поляризация диэлектриков с ионными кристаллическими решетками, заключающаяся в смещении подрешетки положительных ионов вдоль поля, а отрицательных — против поля, приводящем к возникновению дипольных моментов.

 

 Поляризованность.  Напряженность  поля в диэлектрике

 

При помещении диэлектрика во внешнее  электрическое поле он поляризуется, т. е. приобретает отличный от нуля дипольный  момент Р_v =å P_i, где P_i  — дипольный момент одной молекулы. Для количественного описания поляризации диэлектрика пользуются векторной величиной — поляризованностью, определяемой как дипольный момент единицы объема диэлектрика:

P = p_v / V = å P_i/V

Для большого класса диэлектриков поляризованность Р линейно зависит от напряженности поля Е.

Р=

e₀Е, 

где — диэлектрическая восприимчивость вещества, характеризующаяся свойствами диэлектрика; - величина безразмерная; притом всегда > 0 и для большинства диэлектриков (твердых и жидких) составляет несколько единиц.

Внесем в однородное внешнее  электрическое поле е₀  пластинку из однородного диэлектрика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Под действием поля диэлектрик поляризуется. На правой грани диэлектрика, обращенного к отрицательной плоскости, будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью +s', на левой — отрицательного заряда с поверхностной плотностью —s'. Эти нескомпенсированные заряды, появляющиеся в результате поляризации диэлектрика, называются связанными. Так как их поверхностная плотность s' меньше плотности s свободных зарядов плоскостей, то не все поле Е компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть — обрывается на связанных зарядах. Поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика Е=Ео.

Результирующее поле внутри диэлектрика

Е = Е₀ - Е'.

Поле E'=s' /e₀ (поле, созданное двумя бесконечными заряженными плоскостями), поэтому

Е=Е₀ - s' /e₀ 

Определим поверхностную плотность связанных зарядов s'. По формуле P = p_v / V,  полный    дипольный    момент    пластинки диэлектрика p_v =PV=PSd, где S—площадь грани пластинки, d — ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент, согласно формуле Е=Е₀ - s' /e₀, равен произведению связанного заряда каждой грани Q'= s' S на расстояние d между ними, т. е. p_v = s' Sd. Таким образом, PSd=s' Sd, или

s' =P 

т. е. поверхностная плотность связанных  зарядов s' равна поляризованности Р. Подставив в  формулу Е=Е₀ - s' /e₀ выражения  s' =P и Р= e₀Е, получим

Е=Ео—

Е,

откуда напряженность результирующего  поля внутри диэлектрика равна

Е=Е₀/(1+

)=Е₀/e. 

Безразмерная величина

 

называется диэлектрической проницаемостью среды. Сравнивая Е=Е₀/(1+ )=Е₀/e и e =1+ , видим, что e  показывает, во сколько раз поле ослабляется диэлектриком, и характеризует количественно свойство диэлектрика поляризоваться в электрическом поле.

 

 

 

 

Электрическое смещение. Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике.

Напряженность электростатического  поля, согласно Е=Е₀/(1+ )=Е₀/e, зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна e. Вектор напряженности Е, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение. Поле характеризуется еще вектором электрического смещения, который для электрически изотропной среды, по определению, равен

D=e₀eE.

Используя формулы e =1+ и Р= e₀Е, вектор электрического смещения можно выразить как

D=e₀E+P.             

Единица электрического смещения — кулон на метр в квадрате (Кл/м²).

В диэлектрике на электростатическое поле свободных зарядов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором напряженности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Вектор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика. Поле D изображается с помощью линий электрического смещения.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах — свободных и связанных, в то время как линии вектора D — только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

 

Основные уравнения электростатики диэлектриков

Основным законом в  электростатике является закон Кулона. Поэтому прежде всего рассмотрим как изменяется этот закон.

Пусть в однородном изотропном диэлектрике  с диэлектрической проницаемостью e находится точечный заряд +q, который мы будем представлять себе в виде равномерно заряженного (рис.).

   .

r

 

 

Вычислим напряженность поля на расстоянии r от центра шара. На границе диэлектрика, прилегающей к шару появится отрицательный поляризационный заряд с плотностью -s, которая равна:

.

Здесь Е(а) – напряженность поля в диэлектрике на расстоянии а от центра шара, а – радиус шара. Поэтому полный поляризационный заряд равен

q^' = 4pa²s^' =4pa²e₀(e - 1)E(a).

Из симметрии задачи ясно, что  силовые линии могут быть только радиальными прямыми, густота которых бывает пропорционально квадрату расстояния от заряда, а значит,

Поэтому

.

С макроскопической точки  зрения напряженность поля в точке r равна напряженности поля, создаваемого свободным зарядом (q - q^') в вакууме. Следовательно,

Выражая отсюда Е(r), находим:

 

где через Е₀(r) обозначена напряженность поля, создаваемая точечным зарядом в вакууме.

Полученная формула выражает закон Кулона для диэлектриков. Она показывает, что напряженность поля точечного заряда в однородном диэлектрике уменьшается в e раз по сравнению с его значением в вакууме. Мы видим, что физическая причина этого заключается в появлении поляризационных зарядов в диэлектрике, уменьшающих электрическое поле.

Из формулы  следует, что потенциал (относительно бесконечности), создаваемый точечным зарядом в диэлектрике есть

Обратимся теперь к теореме Остроградского-Гаусса. Из определения электрического смещения и формулы   следует, что электрическое смещение, создаваемое точечным зарядом в диэлектрике есть

.