Применение исследовательских задач в преподавании физики и подготовке к соревнованиям школьников

.  (4)

При α_пр (и γ = 90^о) R обращается в единицу (100 % энергии отражается). При малых углах падения (а следовательно, и преломления), синусы и тангенсы можно заменить радианными мерами углов – следовательно в этом случае

 (5).

При малых углах можно  заменить синусы на радианные меры также и в законе преломления:

α/γ ≈n, т.е α ≈ γ·n. (6).

Следовательно

, (7)

то есть при малых  углах коэффициент отражения  остается приблизительно постоянным. При n =3/4 получаем, что при малых углах R ≈ 1/49 ≈ 0,0204 ≈ 2%. В нашем эксперименте при малых углах падения 98% световой энергии проходят в воздушную прослойку и далее поглощаются сажей – и мы видим пластинку черной.

С помощью программы Microsoft Excel был построен график (см. рис. 4) зависимости коэффициента отражения от угла падения (по формуле (4) и закону преломления). Из него видно, что при углах падения до 20^о коэффициент R практически не меняется (близок к 2%), при α = 30^о R≈2,5%, при приближении к критическому углу резко растет, и при α =  48,6^о (49-я точка на графике) обращается в единицу.

Рис. 4

Мы сфотографировали(см.фото) закопченную пластину, погруженную  в воду, под разными углами падения. Для измерения этого угла банку  с водой и пластиной поставили  на большой транспортир. При углах  падения от 0 до 30^о пластинка казалась абсолютно черной, при 40^о черный цвет стал менее насыщенным, а при 49^о и более пластинка кажется зеркально блестящей.

Мы провели также  опыт с лучом лазерной указки (рис. 5). Для того, чтобы был виден сам луч, в воду всыпали панировочные сухари. При углах падения от 0 до 40^о отраженный луч практически не был виден. Начиная с угла падения 49^о отраженный луч стал виден так же отчетливо, как и падающий. Это доказывает, что эффект «черного серебра» - это полное внутреннее отражение от прослойки воздуха между водой и сажей.

Рис. 5

Если же, по условию  задачи, опустить в воду закопченную  ложку, то часть ее поверхности будет  видна черной, а часть – зеркальной. Пусть, например, ложка имеет форму  полусферы. Найдем, какая часть ее площади будет видна черной.

Черной будет казаться та часть ложки, на которую свет падает под углом, меньшим чем предельный. Из чертежа видно, что эта область  представляет собой сферический  сегмент, для которого половина угла раствора равна максимальному углу падения. В геометрии известна формула, выражающая площадь сферического сегмента через радиус сферы R и высоту сегмента h:

S_сегм = 2πRh.  (7)

Нам же надо получить эту  площадь через радиус сферы и  угол падения.

 

Из чертежа видно, что 

h = R(1 – cos α),

то есть

S_сегм = 2πR²(1 – cos α). (8)

Значит, доля площади  полусферы, которая кажется черной, равна

.  (9)

Т.к. sin α_пр = n, cos α_пр = √(1-n²) = (√7)/4 ≈ 0,66. Поэтому 34% площади ложки кажутся черными, а 66% - зеркальными.

Вывод:

Мы рассмотрели, почему возникает эффект «черного серебра». Это происходит из-за полного внутреннего отражения на переходе «вода-воздух», рассчитали коэффициент отражения для разных углов падения и построили график этой зависимости. Исследовали явление экспериментально  для плоской поверхности и полусферической. Пронаблюдали изученные явления визуально и с помощью луча лазерной указки.

 

Куча  или не куча? (Юниорский ТЮФ 2007 г.) На горизонтальную поверхность насыпали кучку песка. Поверхность начинает вибрировать. За какое время кучка рассеется по поверхности? От каких параметров зависит это время? Исследуйте эффект экспериментально и опишите теоретически.

РЕШЕНИЕ

0. Равновесие  песчаной горки на неподвижной  поверхности.

Начнем с известной  задачи о равновесии песчаной горки на неподвижной поверхности. В ней нужно найти, при каком максимальном угле наклона горка будет устойчивой.

Рассмотрим песчинку массы m на вершине горки. На нее будут действовать сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения f_тр. При максимальном угле α₀ наклона сила трения принимает максимальное значение   f_тр = μN. (см. рис. 6)

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

Запишем для этой песчинки второй закон Ньютона:

.

Разложим это векторное  равенство по осям координат: ось x направим вниз по склону горки а ось y вверх перпендикулярно склону. Тогда сила N направлена вдоль оси y, сила f_тр – по оси x в отрицательном направлении, а сила тяжести раскладывается на проекции mg_x = mg sin α₀ и mg_y = mg cos α₀. Получим систему уравнений:

 (1)

Решив эту систему, получаем, что α₀ = arctg μ.  (2)

 

1. Равновесие  песчаной горки на поверхности, вибрирующей в горизонтальной плоскости.

Рассмотрим теперь горку  на поверхности, Пусть горка находится  на опоре, совершающей гармонические колебания с амплитудой A и циклической частотой ω. Система отсчета, связанная с горкой, становится неинерциальной, следовательно, во второй закон Ньютона следует добавить силу инерции: F_и = - ma_сист где a_сист – ускорение системы отсчета, т.е. самой горки. (рис.7)

 

 

 

 

 

 

рис.7

Рассмотрим равновесие песчинки в момент, когда ускорение  горки максимально. Это ускорение  равно a_сист = ω²A и направлено в сторону, противоположную смещению горки. Значит сила инерции равна F_и = mω²A и направлена в сторону смещения горки. Второй закон Ньютона примет вид:

 

Проекции силы инерции  на оси координат равны F_иx= mω²A cos α и F_иy=mω²A sin α. Поэтому в разложении по осям координат второй закон Ньютона будет иметь вид:

 (3)

Выражая N из второго уравнения и подставляя в первое, получаем:

 (4),

Откуда можно выразить α:

.  (5)

Как видно из формулы (5), если ω²A<μg, то горка не рассеется полностью. Угол наклона горки уменьшится до величины, определяемой по формуле (5), и дальше меняться не будет. А вот если ω²A = μg, то равновесный угол обращается в нуль – горка рассеется полностью.

 

2. Ускорение скатывающейся  песчинки.

Будем считать, что песчаная горка рассеется, когда все песчинки окажутся на плоскости опоры.

Рассмотрим, для начала, самую верхнюю песчинку. Двигаться  она будет с ускорением, которое  меняется очень сложным образом. Прежде всего, каждый склон будет  осыпаться только половину времени: в те полпериода, когда опора движется вправо, осыпается правый склон, а когда влево – левый. Кроме этого, ускорение песчинки зависит от ускорения опоры (которое меняется по гармоническому закону) и от угла наклона горки (который со временем уменьшается).

Найдем максимальное ускорение песчинки. Максимальным оно будет в момент амплитуды самого первого периода колебаний, когда угол наклона горки будет максимальным и равным α₀, а ускорение опоры – максимальным и равным ω²A. Силы, действующие в этот момент на песчинку, обозначены на рис. 2. Второй закон Ньютона для песчинки имеет вид:

,

где a – ускорение песчинки в системе отсчета, связанной с горкой. Это ускорение направлено вниз по склону, т.е. по оси x. В разложении по осям координат второй закон Ньютона будет иметь вид:

  (6)

Выражая N из второго уравнения и подставляя в первое, получаем:

 (7),

откуда 

 (8)

Вспоминая о том, что  α₀ = arctg μ, получаем, что первое слагаемое обращается в нуль, а второе после тригонометрических преобразований принимает вид:

  (8’)

Мы получили максимальное ускорение песчинки, будем обозначать его a_max.

 

3. Оценка времени  рассеивания кучи

Подставив максимальное ускорение из формулы (8) в известную кинематическую формулу равноускоренного движения без начальной скорости:

,

получим время, в течение  которого скатилась бы со склона самая  верхняя песчинка, если бы ее ускорение  все время было бы равно a_max:

 (9)

Здесь l – длина склона горки. Выразим ее через высоту горки и угол наклона:

.  (10)

Подставляя это в (9), получаем:

.  (11)

В реальности это время  увеличится по трем причинам:

1. Каждый склон будет  осыпаться только половину времени:  в те полпериода, когда опора  движется вправо, осыпается правый  склон, а когда влево – левый. 

2. В течение полупериода  ускорение опоры меняется от  ω²A до нуля.

3. Угол наклона горки равен α₀ только в начальный момент времени, а затем уменьшается.

Каждую из этих причин учтем, для оценки умножая время, вычисленное по формуле (11) на 2. Следовательно  реалистическая формула для оценки времени, за которое скатится верхняя  песчинка:

.  (12)

Поскольку песчинки в  горке упакованы плотно, песчинки, лежащие глубже, получают возможность  скатываться только тогда, когда  вышележащие песчинки освободили им место. Следовательно, полное время  рассеивания можно найти, умножив формулу (12) на высоту горки, измеренную «в песчинках»:

,   (13)

где d – диаметр песчинки.

 

4. Оценка размеров  рассеянной кучи

Очевидно, объем песка  остается постоянным. То есть, объем  первоначальной кучи (конуса радиусом r и высотой h) равен объему рассеянного песка – цилиндра радиусом R и высотой в одну песчинку:

,  (14)

откуда

.  (15)

Вспомнив, что 

,

Получаем окончательно

.  (16)

 

5. Численные  оценки

Была насыпана горка  песка высотой 1,5 см и диаметром 6,4 см. Отсюда можно вычислить коэффициент  трения: он равен μ = 0,47.

Диаметр песчинки был  вычислен методом рядов с помощью  линейки и лупы. Он оказался равен d = 0,2 мм.

Планшет с горкой песка  был приведен в колебательное  движение (A = 1 см, T = 0,25c, т.е. ω = 2π/T = 24,7 1/c) с помощью рук. Частота колебаний была измерена секундомером – время, затраченное на 20 колебаний разделили на 20. Для измерения амплитуды в руке экспериментатора был зажат карандаш, кончик которого касался листа бумаги.

Условие рассеивания  горки выполняется: ω²A = 6,1 м/с² > μg = 4,7 м/с².

В эксперименте горка рассеялась за 42 с. Теоретически (из формулы 13) это время должно быть равно 31 с, что неплохо согласуется с экспериментом.

В результате эксперимента получился слой песка в виде круга  диаметром 22 см (т.е. радиусом 11 см.) Теоретический расчет (по формуле 16) дает радиус 16 см, что тоже неплохо согласуется с экспериментом.

 

Вакуумная забастовка (Юниорский ТЮФ, 2003) Злоумышленники на перемене поместили школьный звонок под колпак вакуумного насоса. При каком давлении под колпаком звонок на урок уже не прозвенит?

P Использование эффекта в корыстных целях категорически запрещено Оргкомитетом юниорской лиги ТЮФ.

РЕШЕНИЕ

На этот вопрос обычно отвечают так: нужно получить под  колпаком вакуум, поскольку в воздухе  звук распространяется, а в вакууме  – нет. Но давайте разберемся в  этом вопросе глубже.

Так ли необходим для  «кражи звонка» вакуум? Поместите звенящий будильник просто под стеклянный колпак. Вы услышите, что он стал звенеть намного тише. Точнее, к вам в уши попадает более тихий звук, чем без колпака. Да и жизненный опыт показывает, что через закрытую дверь звук проходит хуже, чем через открытую. Почему? Что делает со звуком твердая преграда?

Отражает! Вспомните, что  происходит, если кричать в сторону  скалы, крутого берега или просто стены. Вы слышите эхо. Большая часть  звуковой энергии отражается от преграды, а в нее проходит только малая доля. Из твердого вещества в воздух тоже проходит лишь небольшая часть звуковой энергии. Приложив ухо к земле, мы хорошо слышим то, что не можем услышать через воздух.

Переходим к количественному  рассмотрению задачи.

Громкость звука количественно описывается интенсивностью звуковой волны – звуковой энергией, падающей в единицу времени на единицу поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны (см. рис. 8):

 

 

 

 

 

_{Рис. 8}    

Пусть звуковая волна  интенсивностью I₀ падает на границу раздела двух сред. Плотности этих сред равны ρ_i и ρ_j, а скорости звука в них – c_i и c_j соответственно. Доля звуковой энергии, отраженной от границы раздела сред, называется коэффициентом отражения. При перпендикулярном падении волны на границу он равен:

 

Произведение плотности  вещества на скорость звука в нем  называется волновым сопротивлением или  импедансом этого вещества и обозначается буквой Z: