Принципы теоретической физики

Опыты по интерференции  корпускулярных лучей дали блестящее  подтверждение того, что предполагаемый теорией волновой характер явлений  движения действительно соответствует  фактам. Кроме того, теории легко  удалось вывести статистические законы

53

перехода системы  из одного квантового состояния в  другое под действием внешних  сил, что, с точки зрения классической механики, казалось чудом. Внешние силы здесь представлены небольшими, зависящими от времени приращениями потенциальной  энергии. Тогда как в классической механике такие приращения могут вызвать только соответственно малые изменения в системе, в квантовой механике они же вызывают изменения любой величины, но с соответственно малой вероятностью; это следствие полностью соответствует опыту. Теория даже позволила понять, по крайней мере в основных чертах, законы радиоактивного распада.

Очевидно, в прошлом  никогда не была развита теория, которая, подобно квантовой, дала бы ключ к интерпретации и расчету  группы столь разнообразных явлений. Несмотря на это я все-таки думаю, что в наших поисках единого фундамента физики эта теория может привести нас к ошибке: она дает, по-моему, неполное представление о реальности, хотя и является единственной, которую можно построить на основе фундаментальных понятий силы и материальных точек (квантовые поправки к классической механике). Неполнота представления является результатом статистической природы (неполноты) законов. Я хочу сейчас обосновать это мнение.

Я спрашиваю  сначала — до какой степени  функция ψ_r описывает реальное состояние механической системы? Допустим, что ψ_r — периодические решения уравнения Шредингера (расположенные в порядке возрастания значений энергии). Я оставляю пока в стороне вопрос о том, в какой степени отдельные ψ_r дают полное описание физических состояний. Вначале система находится в состоянии ψ₁ с наименьшей энергией ε₁ . Затем в течение конечного промежутка времени на систему действует небольшая возмущающая сила. Для некоторого последующего момента из уравнения Шредингера получаем функцию гр в виде:

ψ = Σ Ρ_r ψ_r

где С_r —постоянные (комплексные). Если ψ_r “нормированы”, то С₁ почти равен единице, С₂ и т. д. малы по сравнению с единицей. Можно теперь спросить: описывает ли ψ действительное состояние системы? Если ответ положительный, то единственное, что нам остается,— это приписать ¹ этому состоянию определенную энергию Е, а именно такую, которая не намного превосходит Е₁(во всяком случае Е₁ < Е < Е₂). Но такое предположение противоречит опытам Франка и Герца по соударению электронов, если к этому же принято данное Милликеном доказательство дискретной природы электричества. В действительности, эти опыты приводят к заключению, что между двумя квантовыми значениями не существует никаких других значений энергии. Отсюда следует, что

_____________________________________

¹ Потому что, согласно прочно установленному следствию теории относительности, энергия системы (в покое) равна ее массе (как целого). А последняя должна иметь вполне определенное значение,

54

наша функция  ψ никоим образом не описывает  однородное состояние системы, а скорее представляет собой статистическое описание, при котором С_r выражают вероятности отдельных значений энергии. Следовательно, кажется очевидным, что данное Борном статистическое истолкование квантовой теории является единственно возможным. Функция ни в коем случае не описывает состояние, свойственное одной единственной системе; она относится скорее к нескольким системам, т. е. к “ансамблю систем”, в смысле статистической механики. Если, исключая некоторые особые случаи, функция дает только статистические данные об измеримых величинах, то причина состоит не только в том, что операция измерения вносит неизвестные элементы, которые можно уловить лишь статистически, а в самом факте, что функция ψ ни в коем смысле не описывает состояния одной отдельной системы.

Такая интерпретация  устраняет также и указанный  недавно мною и моими двумя  сотрудниками парадокс, относящийся  к следующей проблеме.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух отдельных  систем А и В, взаимодействующих только в течение ограниченного времени. Пусть задана функция ψ до взаимодействия. Тогда уравнение Шредингера даст функцию ψ после взаимодействия. Определим теперь физическое состояние подсистемы А настолько полно, насколько это допускается измерениями. Тогда квантовая механика позволяет нам определить функцию ψ для подсистемы В по сделанным измерениям и функции ψ для всей системы. Это определение, однако, дает результат, который зависит от того, какие определяющие величины, характеризующие состояние А, измерялись (например, координаты или количества движения). Поскольку после взаимодействия для В может существовать только одно физическое состояние, которое нельзя себе разумно представить зависящим от отдельных измерений, произведенных над системой А, отделенной от В, можно заключить, что функции ψ нельзя однозначно сопоставить физическое состояние. Это сопоставление нескольких функций ψ одному и тому же физическому состоянию системы В вновь показывает, что функция не может интерпретироваться как описание (полное) физического состояния одной отдельной системы. Здесь также все трудности исчезают, если функция ψ сопоставляется ансамблю систем ¹.

Тот факт, что  квантовая механика позволяет столь  просто получить выводы, касающиеся прерывных  переходов (кажущихся) из одного общего состояния в другое, не давая фактически представления об отдельных процессах, связан с другим фактом, а именно, что теория в действительности оперирует не с отдельной системой,

_______________________________________

¹ Операция измерения А, например, также содержит в себе переход к более ограниченному ансамблю систем. Последний (а значит, и его функция φ зависит от того, с какой точки зрения было произведено ограничение ансамбля систем.

55

а с ансамблем  систем. Коэффициенты С_r в нашем первом примере очень мало меняются под действием внешних сил. Такая интерпретация квантовой механики позволяет понять, почему эта теория так легко объясняет способность малых возмущающих сил вызывать изменения любой величины в физическом состоянии системы. Такие возмущающие силы вызывают фактически лишь соответствующие малые изменения статистической плотности ансамбля систем, а следовательно, бесконечно малые изменения функции ψ ; математическое выражение этих изменений представляет гораздо меньше трудностей, чем представляло математическое выражение конечных изменений, претерпеваемых отдельными системами. Что происходит в отдельной системе, остается, правда, при такой манере мышления совершенно невыясненным; статистическая точка зрения совершенно исключает из рассмотрения эти таинственные процессы.

Но теперь я  спрашиваю: неужели какой-нибудь физик  действительно верит, что нам  не удается узнать что-либо о важных внутренних изменениях в отдельных  системах, об их структуре и причинных  связях? И это несмотря на возникшие благодаря замечательным открытиям камеры Вильсона и счетчика Гейгера возможности исследования? Думать так логически допустимо, но это настолько противоречит моему научному инстинкту, что я не могу отказаться от поисков более полной концепции.

К этому мы хотели бы добавить некоторые соображения иного рода, которые также свидетельствуют против идеи, что введенные квантовой механикой методы способны создать основу, пригодную для всей физики. В уравнении Шредингера абсолютное время и потенциальная энергия играют решающую роль, тогда как теорией относительности эти два понятия признаны в принципе недопустимыми. Чтобы избежать этих трудностей, нужно основать теорию на понятии поля и законах полей, а не на силах взаимодействия. Это приводит к распространению статистических методов квантовой механики на поля, т. е. на системы с бесконечным числом степеней свободы. Хотя во всех сделанных до сих пор попытках ограничивались линейными уравнениями, которые, как мы знаем по данным общей теории относительности, не достаточны, встретившиеся при осуществлении уже этих весьма остроумных попыток осложнения ужасающе велики. Они возрастают чрезвычайно, если мы хотим удовлетворить требованиям общей теории относительности, правомочность которой в принципе никем не может оспариваться.

Необходимо отметить, конечно, что введение пространственно-временного континуума может считаться противоестественным, если иметь в виду молекулярную структуру  всего происходящего в микромире. Утверждают, что успех метода Гейзенберга  может быть приведен к чисто алгебраическому методу описания природы, т. е. исключению из физики непрерывных функций. Но тогда

56

нужно будет  в принципе отказаться от пространственно-временного континуума. Можно думать, что человеческая изобретательность в конце концов найдет методы, которые позволят следовать этому пути. Но в настоящее время такая программа смахивает на попытку дышать в безвоздушном пространстве.

Нет сомнения, что  в квантовой механике имеется  значительный элемент истины и что  она станет пробным камнем для любой будущей теоретической основы, из которой она должна будет быть выведена как частный случай, подобно тому, как электростатика выводится из уравнений Максвелла для электромагнитного поля или термодинамика из классической механики. Однако я не думаю, что квантовая механика является исходной точкой поисков этой основы, точно так же, как нельзя, исходя из термодинамики (или, соответственно, из статистической механики), прийти к основам механики.

Учитывая такое  положение, кажется вполне оправданным  серьезное рассмотрение вопроса о том, нельзя ли каким-нибудь образом привести в соответствие основу физики поля с данными квантовой теории? Не является ли она единственной основой, которая, в соответствии с современными возможностями математики, может быть адаптирована к требованиям общей теории относительности? Господствующая среди современных физиков вера в совершенную безнадежность таких попыток коренится в необоснованном мнении, что в первом приближении такая теория должна привести к уравнениям классической механики для движения частиц или по крайней мере к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Фактически до настоящего времени нам ни разу не удалось теоретически представить частицы с помощью полей, свободных от сингулярностей, и мы не можем ничего а рпоп сказать по поводу поведения таких сущностей. Однако одно достоверно: если теории поля удастся представить частицы без сингулярностей, то поведение этих частиц во времени будет однозначно определяться дифференциальными уравнениями поля.

§ 6. Теория относительности и частицы

Я хочу теперь показать, что, согласно общей теории относительности, существуют свободные от сингулярностей решения уравнений поля, причем эти  решения можно интерпретировать как представляющие частицы. Я ограничиваюсь  здесь случаем нейтральных частиц, так как совместно с доктором Розеном в недавней работе подробно рассматривал этот вопрос, а также потому, что в этом случае можно полностью выявить суть проблемы.

Гравитационное  поле полностью описывается тензором g_μν. В трехиндексном символе Г_μνδ также появляются контраварианты g_μν, определяемые как частные от деления миноров g_μν на

57

детерминат g( == | g_αβ | ). Для того чтобы R_ik были определенными и конечными, недостаточно задать систему координат в окрестности любой части континуума так, чтобы g_μν и их первые производные были бы непрерывными и дифференцируемыми; необходимо также, чтобы детерминат нигде не равнялся нулю. Это последнее ограничение все-таки исключается, если дифференциальные уравнения R_ik = 0 заменить на g²R_ik = 0, левые части которых являются целыми рациональными функциями g_ik и их производных.

Эти уравнения  имеют центрально-симметричные решения, указанные Шварцшильдом, 

Это решение  имеет сингулярность при r = 2т, так как коэффициент при dr² (т. е. g_1,1) становится бесконечным на этой гиперповерхности. Если теперь заменить переменную r на ρ по формуле

ρ² = r-2m

получим  

Это регулярное решение при всех значениях  ρ . Правда, исчезновение коэффициента при dt(g_4,4 ) при ρ = 0 приводит к равенству нулю детермината g при этом значении; но при принятом методе записи уравнений поля это не образует сингулярности.

Если ρ меняется от — ∞ до + ∞, r меняется от + ∞ до r = 2т и обратно до + ∞, тогда как значениям r < 2т не соответствуют никакие действительные значения ρ . Отсюда следует, что решение Шварцшильда становится регулярным, если представить физическое пространство состоящим из двух “оболочек”, граничащих вдоль гиперповерхности ρ = 0, т. е. r = 2m, тогда как на самой гиперповерхности детерминат равен нулю. Будем называть такую связь между двумя оболочками (тождественными) “мостом”. Следовательно, существование такого моста между двумя оболочками в конечной области соответствует существованию нейтральной материальной частицы, описанной способом, свободным от сингулярностей.

Решение проблемы движения нейтральных частиц, очевидно, сводится к нахождению решений тех  уравнений гравитации (написанных без  знаменателей), которые содержат несколько  мостов.

Изложенная выше концепция соответствует, a priori, атомистической структуре материи, поскольку мосты  по своей природе дискретны. Кроме  того, мы видим, что константа массы  т нейтральных частиц должна быть существенно положительной, так как отрицательным значениям т не может соответствовать какое-либо свободное от сингулярностей решение Шварцшильда. Только ис-