Теоретики в области опционов проделали  огромную работу для создания математической модели ценообразования опционов. Существует ряд различных моделей «черного ящика» (они так называются, потому что вы закладываете данные, а затем получаете ответ о величине премии). Профессионалы используют их для сравнения премий различных опционов и для определения стоимости собственных опционов, а также для определения размера налога, если на рынке высокие цены. Любая модель может быть использована для определения теоретической стоимости опциона, однако в результате премия будет определяться рынком: опцион стоит столько, сколько готовы за него заплатить, и об этом всегда нужно помнить. Тем не менее, какие бы сложные формулы не использовались, все модели ценообразования опционов основаны на общих принципах.

    Премия  опциона может быть разделена на две составные части:

    – Действительная стоимость.

    – Временная стоимость.

    Действительная  стоимость зависит от стоимости  основного инструмента (или процентной ставки в случае опциона на процентную ставку) и сделочной цены опциона. Если цена основного инструмента выше сделочной цены опциона покупателя, то говорят, что опцион «выигрышный», т.к. будет выгодно использовать этот опцион, а его действительная стоимость равна разнице между сделочной ценой и ценой основного инструмента. Если сделочная цена опциона покупателя или опциона продавца равна цене основного инструмента, то говорят, что опцион «выигрышный», и он не имеет действительной стоимости. Если цена основного инструмента ниже стоимости опциона покупателя, то говорят, что опцион «проигрышный». Следовательно, использовать опцион, не имеющий действительной стоимости невыгодно.

    Временная стоимость опциона – это то, что остается от премии при вычете из нее действительной стоимости, следовательно, в проигрышных и невыигрышных опционах временная стоимость равна премии опциона. Временная стоимость зависит от ряда факторов:

    – Времени, оставшегося до окончания срока действия опциона.

    – Изменчивости основного инструмента (или процентной ставки).

    – Не подверженной риску процентной ставки.

    Более подробно рассмотрим эти факторы  и то, как они влияют на премию опциона.

    Чем длиннее период до окончания срока  действия, тем выше премия, т.к. больше вероятность использования опциона. Скорость, с которой понижается временная стоимость премии по мере приближения окончательного срока действия опциона, показана на графике; иногда этот график называют «зонтиком временного кризиса».

    С математической точки зрения временная  стоимость убывает по экспоненте, т.е. зависит от квадратного корня из величины оставшегося времени. Например, временная стоимость трехмесячного опциона падает в два раза быстрее, чем временная стоимость девятимесячного опциона.

    Чем ближе конечный срок действия, тем  ближе будет цена опциона к  его действительной стоимости. В конечный срок действия опцион не будет иметь временной стоимости, а будет иметь только действительную.

    Временная стоимость имеет максимальное значение, если опцион невыигрышный (сделочная  цена и цена основного инструмента  равны). Когда процентная ставка основного инструмента сильно отличается от сделочной цены – цена опциона близка к его действительной стоимости. По мере приближения к окончанию срока действия опциона линия его цены и линия действительной стоимости сближаются, а временная стоимость падает.

    Изменчивость  – это мера величины и диапазона  колебаний цены инструмента за определенный период времени. Она не дает индикации  направления, в котором будет  изменяться цена. Чем более изменчив основной инструмент, тем выше премия опциона, т. к. больше вероятность того, что в результате использования опциона будет получена прибыль.

    Измерение изменчивости ставит перед нами несколько  проблем, однако это единственная переменная, влияющая на цену опциона, которую нельзя непосредственно наблюдать.

    Существует  два наиболее распространенных метода измерения изменчивости: историческая изменчивость и предполагаемая изменчивость.

    – Историческая изменчивость определяется путем изучения исторически сложившихся цен на основные ценные бумаги и использования математической модели для измерения колебаний от среднего значения.

    – Предполагаемая изменчивость измеряется путем применения модели ценообразования опционов противоположным образом. Другими словами, если в цене опциона известны все переменные, включая фактическую премию, которая платится на рынке за опцион, то тогда мы можем воспользоваться формулой черного ящика для вычисления изменчивости.

    Однако, несмотря на существование этих моделей, важную роль играет также «точка зрения дилера», и именно это является основным фактором в определении изменчивости. Важно помнить, что, т.к. оценка изменчивости может меняться в зависимости от модели ценообразования и точки зрения дилера, то сравнение цен на опционы из двух различных источников может привести к неверным выводам.

    Местная процентная ставка или процентная ставка, не подверженная риску – это еще  один фактор, оказывающий влияние  на премии опционов. Т.к. премия обычно выплачивается вперед, то она должна быть уменьшена с учетом дополнительных издержек опциона – затрат на выплату процентов, которые покупатель может возместить, положив премию на депозит. Это означает, что, чем выше внутренние процентные ставки, тем ниже должна быть премия: в противном случае покупатель для получения более высокой прибыли может зарабатывать на своем капитале.

    Соотношение между премией опциона и стоимостью основного инструмента измеряется при помощи коэффициента, который  называется дельта. Дельта определяется как скорость изменения цены опциона  относительно изменений в стоимости основной ценной бумаги. Она всегда колеблется между нулем и плюс единицей для опционов покупателя, и между нулем и минус единицей для опционов продавца.

    3. Модель ценообразования опционов (OPM) Ф. Блэка и М. Скоулза.

    В основе методики оценки стоимости собственного капитала, с точки зрения его опционной природы, лежит модифицированная модель для ценообразования опционов. Эта модель предложена американскими экономистами Фишером Блэком и Майроном Скоулзом в 1973 году в работе «Ценообразование корпоративных обязательств».

    Модель  отражает теоретическую концепцию  авторов об условиях ценообразования  такого рода финансовых активов. Позднее  были разработаны альтернативные модели этого вида, в частности, модель Роберта  Мертона в работе «Теория рационального  ценообразования опционов», опубликованной в 1973 году; модель Джона Кокса и Стефена Росса в работе «Ценообразование опционов в альтернативном стохастическом процессе», опубликованной в 1976 году, и другие.

    В соответствии с данной моделью стоимость  опциона определяется рядом характеристик лежащего в основе актива:

     - текущая стоимость лежащего в основе актива;

     - вариация стоимости лежащего в основе актива;

     - цена исполнения опциона; время жизни опциона;

     - безрисковая ставка дисконтирования, соответствующая сроку жизни опциона.

    Сформулируем  входные параметры данной модели.

    Принцип ограниченной ответственности защищает права инвесторов-акционеров в открытых акционерных обществах в случае, если стоимость компании становится меньше величины долга, поскольку они  не могут потерять больше собственных инвестиций в компанию.

    Таким образом, собственный капитал компании может быть рассмотрен как опцион "колл", где исполнение опциона  требует ликвидации фирмы и выплаты  номинальной стоимости долга  и процентных платежей по нему (который соответствует цене исполнения). Схема опционных выплат акционерам компании в случае ее ликвидации может быть представлена в следующем виде:

    V - D , если V > D

    0, если V < D или V=D,

    где V - ликвидационная стоимость  компании, рассчитанная на базе подхода к оценке стоимости на основе затратного подхода;

    D - номинал непогашенного  долга или других  внешних обязательств. 

    При допущении, что долг фирмы можно  рассматривать как единственный выпуск облигаций с нулевым купоном  и фиксированным временем обращения, и при условии, что акционеры имеют право на ликвидацию компании в любое время, предшествующее истечению срока обращения облигаций, время жизни собственного капитала, рассматриваемого как опцион "колл", соответствует времени жизни облигаций.

    Таким образом, получен еще один параметр модели Блэка - Шоулса для ценообразования опциона. Соответственно, и безрисковая ставка, используемая при дисконтировании в модели, должна соответствовать времени жизни опциона.

    В основе формулы Блека–Шоулза лежит  предположение, что существует такая экономическая среда, в которой арбитражеры могут с точностью воспроизвести будущие доходы по опциону покупателя с помощью хеджированного портфеля, состоящего из акций и облигаций. Они рассчитали, какой должна быть стоимость опциона покупателя, чтобы гарантированная прибыль от арбитражных сделок была невозможной. Модель Блека – Шоулза оценивает так называемую справедливую стоимость опциона. Учитывая историю акции(актива) и вычисляя вероятность будущей цены опциона, можно рассчитать текущее справедливое значение его цены. Модель определяет возможное будущее значение цены базисного актива. Придавая вероятности будущим значениям цены базисного актива, модель позволяет включить эти вероятности в цену.

    Модель  предполагает, что будущие цены акции (актива) подчиняются логарифмически нормальному (натуральный логарифм этой величины имеет нормальное распределение) распределению вероятности. Волантильность или среднеквадратическое отклонение доходности акции(актива) вычисляется на основе исторических данных. Чем большей волантильностью характеризуется акция, тем выше вероятность того, что в момент окончания действия опциона цена будет сильно отличаться от сегодняшней. Чтобы компенсировать подобный риск, продавец должен получить больше за опцион на такую акцию, а покупатель больше заплатить за возможность использования опциона.

    Вычисленная справедливая рыночная стоимость опциона  может как совпадать, так и  не совпадать с текущим значением  цены.

    Концептуально модель Блека – Шоулза очень проста:

    Цена опциона колл = ожидаемая будущая цена за акцию – ожидаемая стоимость исполнения опциона.

    Однако  практическую ценность имеют поправки, учёт которых может существенно  изменить цену. Блек и Шоулз дополнили  это уравнение следующими поправками:

    1. на вероятность разброса будущей цены акции(актива);

    2. на чистое значение стоимости  исполнения;

    3. на вероятность того, что цена  исполнения может быть выше, чем  цена базисного актива;

    4. на тот факт, что часть любого  платежа может быть получена  по безрисковой ставке.

    В качестве вариации стоимости лежащего в основе опциона актива необходимо использовать вариацию стоимости компании, рассчитываемую на базе статистического ретроспективного анализа котировок акций компании или компании-аналога, совпадающей по масштабам и рискам. 

    

 

    Вариация  стоимости компании в случае, если котируются как ее акции, так и  облигации, может быть получена непосредственно на основе ретроспективного анализа вариации стоимости акций и облигаций. При этом необходимо учитывать, что в случае оценки речь идет о совместной вариации, т.е. необходимо применять следующую формулу для расчета вариации (на основе дисперсии) стоимости компании.

    Альтернативным  подходом к определению вариации стоимости компании является использование  вариации акций и облигаций компаний-аналогов.

    Развитием данного подхода, дающим более надежные результаты, является расчет среднего показателя вариации стоимости фирм отрасли. Резюмируя результаты исследования методологических подходов преодоления трудностей фундаментального стоимостного анализа компании с отрицательной величиной прибыли, можно предложить следующую схему взаимосвязей причин, лежащих в основе низкой или отрицательной прибыли компании, и методических приемов прогнозирования параметров модели дисконтированных денежных потоков.

    Приведенный алгоритм значительно повышает степень  универсальности применения модели дисконтирования денежных потоков как в рамках фундаментального стоимостного анализа, в частности в целях антикризисного управления, так и при применении доходного подхода в рамках оценочной деятельности.