Система массового обслуживания

Система массового  обслуживания состоит из некоторого числа обслуживающих единиц или  каналов, работа которых состоит в выполнении поступающих по этим каналам  заявок.            

 Примеры  систем массового обслуживания  весьма распространены на практике. Это различные телефонные станции, ремонтные мастерские и проч. Вид и количество поступающих на эти системы заявок различны и, вообще говоря, случайны.           

 Теория  массового обслуживания описывает  закономерности функционирования  таких систем.           

 Определение. процесс функционирования системы массового обслуживания называется случайным процессом.           

  Чтобы оптимизировать процесс функционирования системы массового обслуживания его надо изучить и описать математически.           

 Теория  массового обслуживания является очень быстро развивающимся разделом теории вероятностей, т.к. ее применение на практике чрезвычайно широко.           

 Случайный  процесс, протекающий в системе  массового обслуживания состоит  в том, что система в случайные  моменты времени переходит из одного состояния в другое. Меняется число заявок, число занятых каналов, число заявок в очереди и проч.           

 Определение. Если переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, а количество состояний системы (конечное или бесконечное) можно пронумеровать, то такая система называется системой дискретного типа.           

 Случайные  процессы со счетным множеством  состояний бывают двух типов:  c дискретным или непрерывным временем.           

 Если  переходы системы из одного состояния в другое могут происходить только в строго определенные моменты времени, то случайный процесс будет процессом с дискретным временем, а если переход возможен в любой момент времени, то процесс будет процессом с непрерывным временем.           

 Поскольку  в реальности заявки на систему  массового обслуживания могут  поступать в любой момент времени,  то большинство реальных систем  массового обслуживания будут  системами с процессом с непрерывным  временем.           

 Для того, чтобы описать случайный процесс в системе с непрерывным временем необходимо прежде всего проанализировать причины, вызывающие изменение состояния системы. Эти причины определяются потоком заявок, поступающих на систему. 
 
 
 
 
 

Схему работы ТМО  можно описать следующим образом:

Вначале нам нужна  информация о случайных процессах, происходящих в отделении: о потоке клиентов и о времени выполнения сотрудниками различных операций. Такую информацию можно извлечь из электронной очереди или транзакционных систем.

Далее мы проводим достаточно сложные расчеты и на выходе получаем подробные сведения о работе сотрудников  и ожидании клиентов в очереди. А  это весьма полезная информация, которой позволяет понять, насколько хорошо работает отделение.

Рассмотрим теперь простой пример для иллюстрации  использования ТМО.

Математика расскажет, насколько эффективно работает отделение

Давайте представим себе банковское отделение, в котором  работают 3 операциониста, которые выполняют  только одну операцию. К ним направляется поток клиентов по распределению Пуассона с параметром ? = 1. Этот закон описывает вероятность возникновения n событий за некоторый промежуток времени и очень хорошо подходит для моделирования входящего в отделение потока клиентов; параметр ? показывает, сколько в среднем клиентов будет входить за этот промежуток времени.

Предположим, что  клиентов обслуживают согласно показательному распределению вида:

По этой формуле  рассчитывается вероятность, что клиент будет обслужен за время x, при этом в среднем сотрудник выполняет операцию за 2 минуты.

Если в момент прихода клиента есть хотя бы один свободный сотрудник, то клиент отправляется к нему на обслуживание. Если же все операционисты заняты, то клиенты становится в очередь за всеми клиентами, пришедшими ранее.

После применения методов  ТМО к нашим входным параметрам мы получим, что вероятность ожидания клиента более времени t вычисляется по формуле:

Графически ее можно  отобразить так:

А чтобы узнать, какова вероятность что новый клиент будет ждать в очереди больше определенного периода времени, необходимо просто подставить в формулу соответствующее значение t в минутах. Например, вероятность, что клиент будет ожидать более одной минуты равна 40%, больше двух – 25%, больше 5 – 6%.

Итак, теперь мы знаем, как именно ожидают клиенты в  отделении. Более того, мы можем легко  спрогнозировать, что произойдет, если, например, подключить к обслуживанию нового сотрудника или обучить операционистов работать быстрее, так как, на самом деле, задачи при помощи ТМО решаются в общем виде (то есть вместо конкретных значений – работают три операциониста, приходит в среднем один клиент в минуту и т.д. – мы оперируем численными переменными – параметрами распределений, например, ?, количеством сотрудников m).

Напоследок отметим, что если считать количество клиентов в очереди через средние значения, то получится, что в данном отделении  очередей вообще нет: если есть три  операциониста, каждый из которых обслуживает  одного клиента раз в две минуты, то есть за минуту в среднем обслуживают 1.5 клиента, а поток клиентов в среднем – 1 клиент в минуту, то так как 1.5 > 1, то вроде как выходит, что операционисты успевают обслужить всех входящих клиентов. 
А на самом деле, большую часть рабочего времени в отделении будет очередь.

Заключение

В рассмотренном  нами примере все довольно просто – поток клиентов неизменен в  течение дня, сотрудники выполняют  только одну операцию, причем их работа описывается очень простым математическим законом. Но даже такие системы массового обслуживания встречаются в реальной жизни (например, автомойки). А в банковских отделениях все намного сложнее и математические вычисления становятся действительно нетривиальными. Но именно с помощью таких сложных расчетов можно существенно повысить эффективность и скорость работы отделения.