Изучение характеристик типовых звеньев систем автоматического регулирования

Отчет по лабораторной работе №1

по  дисциплине «Основы теории управления» 

Изучение  характеристик типовых  звеньев систем автоматического  регулирования 
 

Цель  работы: Изучить действие и основные характеристики типовых звеньев систем автоматического регулирования. 

1. Интегрирующее звено. 

Уравнение и  передаточная функция звена:

     или      

где k - коэффициент передачи звена по скорости, численно равный скорости изменения выходной величины при единичном значении входной величины. 

В программе  CLASSiC зададим звено с переходной функцией W(p)=1/(3*p).  

При этом получаем следующие характеристики. 

 

Рис. 1

ЛАЧХ  и ФЧХ интегрирующего звена. 
 

 

Рис. 2

Переходные характеристики интегрирующего звена. 
 

 

Рис. 3

АФЧХ  интегрирующего звена. 

Запишем характеристики звена.

   

        

   

     

   

           
 

Поскольку постоянная времени (Т) и коэффициент передачи звена по скорости (k) связаны к как k=1/Т, то они обратно-зависимы, т.е. увеличение одного (k) приведет к уменьшению другого (Т).

 

Из формул видно, что ФЧХ не будет изменяться при изменении k, АФЧХ визуально не изменится, ЛАЧХ будет отходить дальше от начала координат, так как точка пересечения с осью абсцисс -  (lg k, 0), а точка пересечения с осью ординат (0, 20 lg k). График переходной характеристики будет иметь более крутой наклон, а график импульсной переходной характеристики будет лежать выше. 

2. Дифференцирующее звено. 

   Уравнение и передаточная функции звена:

   

      

Зададим звено с переходной функцией W(p)= 3*p.  

Рис. 4

ЛАЧХ  и ФЧХ дифференцирующего звена. 
 

 

Рис. 5

Переходные  характеристики дифференцирующего звена. 

Рис. 6

АФЧХ  дифференцирующего звена. 
 

Запишем аналитические  характеристики дифференцирующего  звена. 

   

     

   

  

   

   Увеличение  k сдвинет ЛАЧХ вверх, на остальные характеристики изменение k не влияет, АФЧХ – также визуально не изменится. 
 

3. Апериодическое звено 1-го порядка. 

Данное  звено описывается дифференциальным уравнением: 

 
 
 

 

Зададим звено с переходной функцией W(p)=5/(3p+1) . 

 

Рис. 7

ЛАЧХ  и ФЧХ  апериодического звена  первого порядка. 

Рис. 8

Переходные характеристики апериодического звена первого порядка. 
 
 

 

Рис. 9

АФЧХ  апериодического звена первого  порядка. 

Приведем аналитические выражения для характеристик данного звена. 

 

   

 

       

   Исходя  из данных характеристик, можно сделать вывод, что при увеличении коэффициента усиления сдвинется вверх точка пересечения с осью ординат ЛАЧХ, а также по модулю повысятся (сдвинуться радиально, относительно начала координат) значения ЛФЧХ, переходные характеристики также увеличатся пропорционально. 

   При увеличении постоянной времени (Т) наклон кривой ЛАЧХ будет становиться круче, а переходные характеристики напротив, будут более пологие (сигнал будет нарастать медленнее), ФЧХ станет также нарастать более круто (станет чувствительней к изменению частоты). АФЧХ (которая в данном случае начинается справа)  падение станет более крутым, а минимум будет  приходиться на меньшую частоту. 

   Рассмотрим  характеристики неустойчивых звеньев. 

1. W(p)=5/(-3p+1)

 

 

Рис. 10

ЛАЧХ  и ФЧХ  неустойчивого апериодического  звена первого порядка W(p)=5/(-3p+1). 

 

Рис. 11

АФЧХ  неустойчивого апериодического  звена первого порядка W(p)=5/(-3p+1). 

 

Рис. 12

Переходные  характеристики неустойчивого апериодического  звена первого порядка W(p)=5/(-3p+1). 

 
 
 
 

 

Рис. 13

Полюса  устойчивого и неустойчивого  апериодических звеньев

первого порядка. 

2. W(p)=5/(3p-1)

 
 

Рис. 14

Переходные  характеристики неустойчивого апериодического  звена первого порядка W(p)=5/(3p-1). 
 

Рис. 15

ЛАЧХ  и ФЧХ  неустойчивого апериодического звена первого порядка W(p)=5/(3p-1). 

Рис. 16

АФЧХ  неустойчивого апериодического  звена первого порядка W(p)=5/(3p-1). 
 

Наиболее интересны  здесь переходные характеристики, устремляющиеся в бесконечность или в минус-бесконечность, что свидетельствует об их неустойчивости. 

Также полюс  в данном случае лежит в правой полуплоскости, что указывает на неустойчивость. 
 

4. Звено 2-го порядка. 

   В общем случае такое звено описывается уравнением

   

 

   Отсюда передаточная функция:

   

 

   Звенья  второго порядка, таким образом, характеризуются тремя параметрами. Это коэффициент передачи, постоянная времени и коэффициент демпфирования x. В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают типы звеньев: колебательное (0<x<1), консервативное (x=0), апериодическое второго порядка (x³1) или неустойчивое (x<0). 
 

   4.1 Колебательное звено. 

   Возьмем параметры k=5; T=2; x=0,4; 

     

Рис. 17

   ЛАЧХ  и ФЧХ колебательного звена.

     
 

   

Рис. 18

   Переходные  характеристики колебательного звена. 

   

Рис. 19

   АФЧХ  колебательного звена. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   4.2 Консервативное звено. 

   Возьмем параметры k=5; T=2; x=0; 

   

Рис. 20

   ЛАЧХ  и ФЧХ консервативного звена. 

   

   

Рис. 21

   Переходные  характеристики консервативного звена. 

   

Рис. 22

   АФЧХ  консервативного звена. 
 
 

   4.3 Апериодическое звено второго порядка. 

   При x ³ 1 передаточную функцию звена второго порядка можно преобразовать следующим образом:

   

где

   То  есть апериодическое звено второго порядка не является типовым или элементарным, так как его можно представить двумя последовательно соединенными более простыми звеньями - апериодическими первого порядка. 

   Возьмем параметры k=5; T=2; x=2; 
 

     

Рис. 23

   ЛАЧХ  и ФЧХ апериодического звена второго порядка. 

   

   

Рис. 24

   Переходные  характеристики апериодического звена  второго порядка. 
 

   

Рис. 25

     АФЧХ апериодического звена второго  порядка. 
 
 

   4.4 Неустойчивое звено. 

   Возьмем параметры k=5; T=2; x=-1; 

   

Рис. 26

     ЛАЧХ и ФЧХ неустойчивого звена второго порядка. 
 

   

   

Рис. 27

     Переходные характеристики неустойчивого  звена второго порядка. 
 

   

Рис. 28

     АФЧХ неустойчивого звена второго  порядка. 
 

   Вычислим  резонансный пик ЛАЧХ при разных значениях коэффициента демпфирования.