Расчет и проектирование автоматизированной системы научных исследований (АСНИ)

     Расчет  параметров квантования сигналов осуществляется по следующим формулам:

     1. Основная цель данного этапа  - расчет частот опроса датчиков, причем таких частот, которые  в последующем позволят восстановить  сигнал с заданной точностью.  Для выполнения этого условия  необходимо выполнение неравенства:

     При среднеквадратической ошибке – (ск):

     e²(n,Dt)£ D² (1)

     При максимальной ошибке – (м):

     e(n,Dt)£ D          (2)

     Здесь D - граница для допустимой ошибки восстановления сигнала, задаваемая в процентах от диапазона сигнала (шкала сигнала) и зависит от дисперсии сигнала - :

• при равномерном распределении сигнала
• при нормальном распределении сигнала

 

     По  заданию сигнал распределен по нормальному  закону.  По закону 3s за достоверные значения с вероятностью большей 90% принимаются только те, которые лежат на далее 3s влево и вправо от точки математического ожидания. Ширина этого диапазона D именуется шкалой.

 

     

     

     

  где - плотность распределения 

    амплитуды сигнала 

   - дисперсия сигнала

          U -средняя составляющая

                напряжения  сигнала

          U - напряжение сигнала 

  Вероятность превышения напряжения сигнала некоторого уровня равна

   Тогда:

     D = e₀*D

     D=6*s_s

     D=e₀*6*s_s    (3)

     D²=36*s_s² => s_s²=D²/36

     D²=36*s_s²*e₀²                                 (3’)

Если ошибка составляет 1% от шкалы сигнала с  нормальным распределением, то это значит при критерии максимальной ошибки:

и соответственно при критерии СКО:    

     Среднеквадратическая  ошибка при ступенчатой интерполяции имеет вид

        (4)

     Независимо  от выбранного критерия оценки погрешности  ошибка восстановления сигнала включает две аддитивные составляющие:

     - погрешность квантования сигнала  по уровню 

          (5)

     - погрешность дискретизации сигнала  по времени

        (6)

     Здесь n - число двоичных символов отводимых  на кодирование одного отсчета, s_s² - дисперсия сигнала, R(t) - корреляционная функция сигнала.

     Подставив выражения (3’), (4), (5), (6) в (1) получим:

     

     Упростим  это выражение:

       (7)

     Максимальная  ошибка при ступенчатой интерполяции имеет вид

        (8) 

     Независимо  от выбранного критерия оценки погрешности  ошибка восстановления сигнала включает две аддитивные составляющие:

     - погрешность квантования сигнала  по уровню 

          (9)

     - погрешность дискретизации сигнала  по времени

        (10)

     Здесь n - число двоичных символов отводимых  на кодирование одного отсчета, s_s² - дисперсия сигнала, R(t) - корреляционная функция сигнала.

     Подставив выражения (3), (8), (9), (10) в (2) получим: 

            (11) 

     Разрешив  неравенство (7) или (11), как:

                 f_i£j(n, e), найдем частоты опроса датчиков в зависимости от размера разрядной сетки для кодирования одного отсчета и допустимой ошибки восстановления.

     Для удобства интегрирования корреляционную функцию R(t) целесообразно разложить в ряд Маклорена с точностью до двух первых ненулевых членов ряда. 

Для линейной интерполяции справедливы следующие равенства:

     Рассчитав частоты опроса датчиков в зависимости от n построим функцию информационной производительности для каждого датчика (одного из датчиков в группе однотипных датчиков):

     B_i=n_i×f_i

      Здесь B_i - информационная производительность i-го датчика, n_i - число двоичных символов отводимых на кодирование одного отсчета с i-го датчика (разрядность АЦП), f_i - частота опроса i-го датчика. 
 

     Точка минимума функции информационной производительности указывает на оптимальную производительность датчика из которой вычисляется оптимальная частота опроса:

     f^opt=B^opt/n^opt

     Поскольку датчики внутри групп эквивалентны по частоте, то указанный расчет достаточно произвести только для одного датчика  из каждой группы.

Произведем  расчет для 4-х групп датчиков:

 
 
 

1ая  группа датчиков

     a=50 [1/сек].

     Вид модели сигнала R(t)=exp^(-a|t|).

     Ряд Маклорена 

     

     

     e²(n,Dt)£ D² 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Значения частоты дискретизации по полученной формуле приведены в таблице 3, здесь же приводятся соответствующие значения производительности источника измерительного сигнала. 

     Таблица 4

     n^opt=5

     f^opt=395,44

     B^opt=1977,21

Рис.  1

2ая  группа датчиков

      a=400 [1/сек].

      Вид модели сигнала R(t)=sin(at)/(at)

      Ряд Маклорена 

        

      e²(n,Dt)£ D² 

      

      Таблица 5

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      n^opt=5

      f^opt=178,37

      B^opt=891,86

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      рис.2 

3яя  группа датчиков 

     a=200 [1/сек].

     Вид модели сигнала R(t)=(sin(at)/(at))²

     Ряд Маклорена 

       

     e²(n,Dt)£ D²