Системное програмирование

Если  модель первого типа построена, то это  означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…)

Феноменологическая  модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными  или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием  об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль  модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут  повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея  упрощения очень популярна при  построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым)

Если  можно построить уравнения, описывающие  исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью  компьютера. Общепринятый прием в  этом случае — использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.

Если  мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые  могут заметно и не всегда контролируемо  повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью  типа 3 (приближение) или 4 (опустим для  ясности некоторые детали) — это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей (то есть не производится линеаризация нелинейных уравнений, а просто ищутся линейные уравнения, описываюшие объект), то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4 (все нелинейные детали «для ясности» опускаем).

Примеры: применение модели идеального газа к  неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Тип 5: Эвристическая  модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при  построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)

Р. Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга о природе ядерных сил. «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон — протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H − H ⁺ , обусловленным переходом электрона между двумя протонами. … Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью взаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований».

Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена.

А вот  и тип 8, широко распространенный в  математических моделях биологических  систем.

Тип 8: Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности)

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми  сущностями, демонстрирующие, что  предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один  из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример — массовое производство формально — кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа — демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

В основе содержательной классификации — этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании. 
 

Вариант 6. 

Прямая  и двойственная задачи. Связь между  решениями прямой и двойственной задачами.

Прямая  и двойственная задачи.

   Каждой  задаче линейного программирования можно определенным образом сопоставить  некоторую другую задачу (линейного  программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению  к исходной или прямой. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей задаче линейного программирования, состоящей в нахождении максимального значения функции

 (1)

при условиях

 (2)

(j = 1,l; l £ n)   (3)

   Определение. Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

F* = b₁y₁ + b₂ y₂ + ... + b_m y_m                                       (4)

при условиях

 (5)

  (i=1,k; k £ m)                                    (6)

называется  двойственной по отношению к задаче (1) — (3).

   Задачи  (1) —(3) и (4) —(6) образуют пару задач, называемую в линейном программировании двойственной парой.

Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная задача по отношению  к исходной составляется согласно следующим  правилам:

   1. Целевая функция исходной задачи (1) —(3) задается на максимум, а целевая функция двойственной (4) —(6) — на минимум.

   2. Матрица

(7)

составленная  из коэффициентов при неизвестных  в системе ограничений (2) исходной задачи (1)—(3), и аналогичная матрица

 (8)

в двойственной задаче (4) — (6) получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов — строками).

3. Число переменных в двойственной задаче (4) —(6) равно числу соотношений в системе (2) исходной задачи (1) —(3), а число ограничений в системе  (5) двойственной задачи — числу переменных в исходной задаче.
4. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции (4) двойственной задачи (4) —(6) являются свободные члены в системе, (2) исходной задачи (1) —(3), а правыми частями в соотношениях, системы (5) двойственной задачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции (1) исходной задачи.
5. Если переменная исходной задачи (1) —(3) может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в системе (5) двойственной задачи (4) —(6) является неравенством вида «³». Если же переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j-е соотношение в системе (5) представляет собой уравнение.
6. Аналогичные связи имеют место между ограничениями (2) исходной задачи (1) —(3) и переменными двойственной задачи (4)—(6).  Если i -е соотношение в системе (2) исходной задачи является неравенством, то i-я переменная двойственной задачи . В противном случае переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные  пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения (2) прямой задачи и соотношения (5) двойственной задачи являются неравенствами, вида «£». Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только лишь неотрицательные значения.

Связь между решениями  прямой и двойственной задач.

   Рассмотрим  пару двойственных задач, образованную основной задачей линейного программирования и двойственной к ней.

Исходная задача: найти максимум функции

(12)

  при условиях

  (i=1,m)  (13)

  (j=1,n).  (14)

Двойственная  задача: найти минимум функции

 (15)

при условиях

  (j=1,n)   (16)

   Каждая  из задач двойственной пары (12)-(14) и (15), (16) фактически является самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена независимо одна от другой. Однако при определении симплексным методом оптимального плана одной из задач тем самым находится решение и другой задачи.

   Существующие  зависимости между решениями  прямой и двойственной задач характеризуются  сформулированными ниже леммами  и теоремами двойственности.

   Лемма 1. Если X — некоторый план исходной задачи (12) — (14), a Y — произвольный план двойственной задачи (15), (16), то значение целевой функции исходной задачи при плане X всегда не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при плане Y, т. е. F(X)£F*(Y).

   Лемма 2. Если F(X*) = F*(Y*) для некоторых планов X* и У* задач (12) —(14) и. (15), (16), то X* — оптимальный план исходной задачи, a Y* — оптимальный план двойственной задачи.

   Теорема 1. (первая теорема двойственности).

   Если  одна из пары двойственных задач (12) —(14) или (15), (16) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т, е, F_max = F*_min.