Задача об использовании сырья

 

Цены, которые установлены на продукты питания, обозначим c_j за единицу j-го продукта. Количество j-го продукта, входящего в пищевой рацион, обозначим через x_j.

В этих обозначениях выбор  самого дешевого рациона, удовлетворяющего сформулированным выше требованиям, сводится к решению следующей математической задачи:

Найти вектор X = ( x₁, x_2, …, x_n), удовлетворяющий системе ограничений:

 

 

и доставляющий целевой  функции минимальное значение.

Ограничение для каждого i означает, что в выбираемом рационе i-го питательного вещества должно содержать не менее, чем b_i единиц. Второе ограничение формализует тот факт, что j-ый продукт может либо входить в рацион, и тогда x_i>0, либо не входить, и тогда x_i =0.

1.2 Методы решения задачи об оптимальном использовании сырья

От того, как будут  распределяться ограниченные ресурсы, зависит конечный результат деятельности бизнеса, т. е., успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего способа использования ресурсов.

В результате чего и разработали  методы решения данных задач, называемых оптимизационными методами задач распределения, основные из них: симплекс-метод, двойственный симплекс-метод, метод искусственного базиса, графический метод и решение задач средствами Excel через «Поиск решений». Так как я во втором разделе буду использовать при решении задачи распределения симплекс-метод, то рассмотрю его подробнее.

Симплекс-метод. Классическим методом решения рада линейного программирования стал симплекс-метод, получившим также в литературе название метода последовательного улучшения плана. Этот метод был разработан в 1947 г. американским математиком Джорджем Данцигом. Этот метод может быть использован для решения большого комплекса задач внутризаводского планирования: формирование специфицированной годовой производственной программы выпуска предприятия, плана загрузки различных групп оборудования, календарное распределение производственной программы выпуска и т.д.

Сточки зрения рациональности и наглядности вычислительного процесса выполнение алгоритма симплекс-метода удобно оформлять в виде последовательности таблиц. В различных источниках приводятся разные модификации симплекс таблиц, отличающихся друг от друга расположением отдельных элементов. Однако все они базируются на одних и тех же принципах. Основная идея симплекс-метода состоит в следующем:

1) принимается за базу  одна из возможных программ - отправная  (опорный план);

2) осуществляется ее  пошаговое улучшение, пока не  будет получен оптимум по заданной критериальной функции.

Т.о. проблема сводится к  определению отправного варианта программы и нахождению способа улучшения последнего. При этом при формировании начального варианта программы создается как бы запас, возможность реализации в виде резервов тех ресурсов, которые регламентируются в сложившейся производственной ситуации. В процессе преобразований одни переменные вводятся в план, другие исключаются из него. С каждым шагом план приближается к оптимальному и в конечном счете приходит к нему, если в условиях задачи нет противоречия. За счет пошагового распределения ресурсов между планируемыми на выпуск изделиями (деталями) находится такое сочетание номенклатуры и количества этих изделий, которое является наилучшим с точки зрения достижения заданного критерия оптимальности и использования имеющихся ресурсов.

Решение задач симплекс-методом  предусматривает выполнение следующих процедур:

1) формирование целевой  функции;

2) определение ограничительных  условий – функциональных ограничений, которые могут иметь вид неравенств;

3) преобразование ограничений  из неравенств в систему равенств  путем ввода вспомогательных,  свободных переменных (последние  имеют экономическое содержание и характеризуют резерв, неиспользованный остаток тех ресурсов, по которым введено ограничение);

4) построение исходной  симплексной таблицы, в которой  в формируемый план входят только свободные переменные;

5) ввод в исходный  вариант плана реальных переменных  и прежде всего тех, которые в наибольшей степени реализуют целевую функцию;

6) определение числового значения вводимой переменной – величины программы.

При этом каждый из показателей, характеризующих ограничительное  условие, делится на соответствующий  коэффициент при вводимом переменном – удельный расход данного ресурса. Тогда наименьшее частное определит максимально возможное в условиях принятых ограничений использование ресурсов при заданном критерии оптимальности. Полученный результат вводится в соответствующую строку формируемого плана симплексной таблицы. На этой строке матрицы весь ресурс исчерпан, она является «узким местом» и подлежит выводу. На ее место вводится другая строка, предварительно пересчитанная. Формируется новый вариант симплексной таблицы.

После каждой симплексной  таблицы анализируется оптимальность  полученного решения. Если все элементы последней строки (Z-строки) положительны и задача на максимум, то решение оптимально. Если все элементы Z-строки отрицательны и задача на минимум, то решение оптимально. Если план неоптимальный, производится его дальнейшее улучшение.

Алгоритм решения задачи симплекс-методом. Формирование целевой функции и системы ограниченных условий.

1. Перевод неравенств в систему равенств.
2. Построение исходной симплекс-таблицы

Таблица 1.2

Симплексная таблица

Базис	Ci+n	C1	C2	…	Cn	Cn+1	Cn+2	…	Cn+m	Bj
		x1	x2	…	xn	xn+1	xn+2	…	xn+m
xn+1	Cn+1	a11	a12	…	a1n	1	0	…	0	b1
xn+2	Cn+2	a21	a22	…	a2n	0	1	…	0	b2
…	…	…	…	...	…	…	…	…	…	…
xn+m	Cn+m	am1	am2	…	amn	0	0	…	1	bn+m
Z0	--	-C1	-C2	…	-Cn	0	0	…	0	0

 

3. 1-й столбец содержит базисные переменные (x_n+m). 2-й столбец содержит коэффициенты целевой функции при базисных переменных (C_i+n). x_i - переменные задачи i=1,2,…n. C₁, …,C_n – коэффициенты при x₁ ,…, x_n целевой функции соответственно. Остальные столбцы и строки (кроме последней) содержат коэффициенты переменных в ограничениях. В последнем столбце находятся свободные члены. Последняя строка определяется по формуле:

 

 

4. Если решение не оптимально, то выбираем максимальный по абсолютной величине из отрицательных (если целевая функция стремится к максимуму) или из положительных (в противном случае) элемент Z-строки. В результате получаем «ключевой» столбец. Затем находим минимальное отношение элемента B-столбца на соответствующий положительный элемент «ключевого» столбца, получаем «ключевую» строку. На пересечении «ключевого» столбца с «ключевой» строкой находится «ключевой» элемент.
5. Вводим соответствующую переменную полученного «ключевого» элемента в состав базисных и строим новую таблицу по следующим правилам:
• В «новой» таблице на месте «ключевого» элемента ставится 1. Все остальные строки данного столбца равны 0.
• Если в «ключевой» строке (столбце) «старой» таблицы есть элемент равный 0, то соответствующий столбец (строка) переписывается в «новой» таблице без изменений.
• Переменные «ключевой» строки в «новой» таблице равны соответствующим элементам «старой» таблицы, деленным на «старый» «ключевой» элемент.
• Элемент «новой» таблицы равен соответствующему элементу «старой» таблицы минус произведение соответствующего элемента «старого» «ключевого» столбца на соответствующий элемент «новой» «ключевой» строки.
• Такие таблицы строятся до тех пор, пока решение не будет оптимальным.

 

Раздел 2 Расчетная  часть

Пусть имеется три  сорта взаимозаменяемого сырья  в количествах 200, 100 и 300 кг., которое  используют при производстве четырех продуктов. Нормы расхода сырья го вида на производство единицы продукции го вида являются равномерно распределенными случайными величинами в интервале , а производственные затраты распределены нормально в интервале . Исходные данные приведены в таблицах 2.1 и 2.2.

Необходимо определить такой план использования сырья, чтобы с вероятностью выпустить 25 единиц первого продукта, 45 – второго, 30 – третьего, 60 – четвертого. При этом суммарные ожидаемые производственные затраты должны быть минимальными.

 

Таблица 2.1

Нормы расхода на единицу  продукции

Сорт сырья	Ai1	Bi1	Ai2	Bi2	Ai3	Bi3	Ai4	Bi4
1	2	4	0.5	2.5	3	5	1	3
2	1	3	2	6	1	4	2	4
3	2	7	1	3	0.5	3.5	2	6

 

Таблица 2.2

Производственные затраты  на единицу продукции

Сорт сырья
1	20	20	15	25	10	20	20	50
2	15	45	20	30	40	50	30	50
3	10	30	30	60	10	30	15	45

 

Решение

Для равномерно распределенных случайных величин их математическое ожидание равняется среднему арифметическому  концов интервала. Для нормально распределенных случайных величин их математические ожидания заданы в условии.