Экспоненциальное распределение

                                          ВВЕДЕНИЕ 

       Экспоненциальное (показательное) распределение часто  встречается в теории массового  обслуживания (например, — время ожидания при техническом обслуживании или — продолжительность телефонных разговоров, ежедневно регистрируемых на телефонной станции) и теории надёжности (например,   — срок службы радиоэлектронной аппаратуры).

       Под системой массового обслуживания (СМО) понимают динамическую систему, предназначенную  для эффективного обслуживания потока заявок (требований на обслуживание) при ограничениях на ресурсы системы. Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. Поэтому для того чтобы эффективно управлять системой массового обслуживания, а также рационально и с минимальными издержками  пользоваться техническими устройствами необходимо знать, что представляет собой закон показательного распределения и  как он  работает. Это и будет представлять актуальность выбранной темы.

       Объектом  исследования является  закон показательного распределения.

       Предмет исследования – применение в экономике показательного закона распределения.

    Цель  курсовой работы состоит в рассмотрении общих основ показательного закона распределения, а так же применение его на практике для  решения различных экономических  задач. Поставленная цель потребовала решения следующих задач:

• Выявить определение показательного закона распределения;
• Рассмотреть функцию распределения;
• Выделить моменты экспоненциального распределения;
• Выявить связь с другими распределениями;
• Рассмотреть закон показательного распределения применительно к практике.

       Основные  методы исследования. Основным методологическим приемом исследования является комплексный подход, позволяющий с наибольшей эффективностью подойти к рассмотрению закона показательного распределения и его связи с экономикой.

       Практическая  значимость работы состоит в том, что ее результаты могут явиться основой для преподавателей при разработке лекций по теории вероятностей и математической статистике.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       ГЛАВА 1. Теоретические аспекты показательного закона   распределения. 

1.1. Определение показательного  закона распределения. 
 

    Показательным (экспоненциальным) называют распределение  вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью¹:

где X —  постоянная положительная величина.

Мы видим, что показательное распределение определяется одним параметром X. Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.

 Обычно  параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д. Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Экспоненциальное  распределение часто используется для описания интервалов между последовательными  случайными событиями, например, интервалов между заходами на непопулярный сайт, так как эти посещения являются редкими событиями.

Основные  числовые характеристики экспоненциального  распределения²:

 

      Это распределение обладает очень  интересным свойством отсутствия  последействия, или, как еще  говорят, марковским свойством,  в честь знаменитого русского математика Маркова А. А., которое можно объяснить следующим образом. Если распределение между моментами наступления некоторых событий является показательным, то распределение, отсчитанное от любого момента  t до следующего события, также имеет показательное распределение (с тем же самым параметром).

      Иными словами, для потока редких  событий время ожидания следующего  посетителя всегда распределено  показательно независимо от того, сколько времени вы его уже  ждали. 

      Показательное распределение связано с пуассоновским распределением: в единичном интервале времени количество событий, интервалы между которыми независимы и показательно распределены, имеет распределение Пуассона. Если интервалы между посещениями сайта имеют экспоненциальное распределение, то количество посещений, например в течение часа, распределено по закону Пуассона.

    Показательное распределение представляет собой  частный случай распределения Вейбулла.

    Если  время не непрерывно, а дискретно, то аналогом показательного распределения является геометрическое распределение. 

1.2. Функция распределения  показательного закона  

Найдем  функцию распределения показательного закона³:

Интегрируя  плотность, получаем функцию экспоненциального  распределения:

Мы определили показательный закон с помощью плотности распределения; ясно, что его можно определить, используя функцию распределения.

Графики плотности и функции распределения  показательного закона изображены на Рис 1 и Рис 2 соответственно.

Рис 1. График плотности Рис 2. График функции  

Моменты экспоненциального распределения 

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального  распределения имеет вид:

откуда  получаем все моменты:

В частности,

 

1.3. Функция надежности. Показательный закон надежности 

    Показательное распределение широко применяется  на практике, в 

частности в теории надежности, одним из основных понятий которой являются функция  надежности и функция ненадежности.

    Вероятность безотказной работы за время длительностью t будет равна: 

 R (t) = P (T > t) = 1 – F (t). 

Функцию R (t), определяющую вероятность безотказной  работы элемента за время длительностью t   называют функцией надежности.

Функция распределения F (t) = Р(Т<t) определяет вероятность отказаза время длительностью t и называется функцией ненадежности.

В  общем  случае  время  Т  безотказной  работы  элемента  является  понятием обобщенным. Часто оно может измеряться числом включений или числом циклов работы (например, испытание реле на усталостную прочность), числом километров пробега (автомобиль, электровоз). 

Показательный закон надежности. 

На практике длительность времени безотказной  работы элемента часто имеет показательное  распределение с функцией распределения: 

    

Поэтому, согласно выражению R (t) = P (T > t) = 1 – F (t), функция надежности в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента будет иметь вид: 

где   λ – интенсивность отказов (среднее число событий в единицу времени)

Функцию  надежности,  определяемую  равенством , называют показательным законом надежности. Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t при условии, что

 λ(t)  = λ  = const.

    Основное  свойство этого закона состоит в  том, что вероятность безотказной работы не зависит от времени предшествующей работы, а зависит только от рассматриваемого интервала времени. Это значит, что будущее поведение объекта не зависит от прошлого, если в настоящий момент он работоспособен.

    Таким образом, подводя итог, можно сделать вывод о том, что при экспоненциальном (показательном) законе распределения вероятность безотказной работы не зависит от того, сколько проработало изделие с начала эксплуатации, а определяется конкретной продолжительностью рассматриваемого периода или пробега x, называемого временем выполнения задания. Рассмотренная модель не учитывает постепенного изменения параметров технического состояния, например, в результате изнашивания, старения и так далее, а рассматривает так называемые нестареющие элементы и их отказы. Экспоненциальный закон используется чаше всего при описании внезапных отказов, продолжительности разнообразных ремонтных воздействий и в ряде других случаев.

Кроме этого, экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим (l), что облегчает расчеты и объясняет широкое его применение на практике.

Показательному  закону распределения подчиняется, к примеру, величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий. Также этому распределению подчиняется время ожидания клиента в системе массового обслуживания (магазин, мастерская, банк, парикмахерская и т.д.). Другими словами, показательный закон распределения очень широко распространен в повседневной жизни.  
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 2. Решение задач с применением показательного закона распределения. 

    Показательное распределение можно соотнести  с разными сферами экономики, такими как финансы, логистика, маркетинг  и др. 

    Показательное распределение находит широкое применение при решении различных экономических и технических задач, связанных с исследованием эффективности функционирования автомобильно-дорожных средств и систем.

    Так, например:

- при  определении надежности деталей  автомобиля, когда единичные

 повреждения приводят к отказу изделия. Такие условия возникают при превышении нагрузки, например, при ударе (приводящем к поломке изделия);

- при превышении электрического напряжения, приводящему к перегоранию конденсаторов, перегоранию ламп и т.п.;

- при  определении параметров систем массового обслуживания, например, при

диагностике состояний автомобилей, смазке, регулировке  их механизмов, т.е.

- при техническом обслуживании и ремонте автомобилей, расходуемое время на выполнение указанных операций распределено в большинстве случаев по

показательному  закону;

- время  между двумя автомобилями, прибывающими  на станцию обслуживания, также описывается с помощью показательного закона.

Большинство из этих примеров относится к логистике, которая является частью экономической науки, предмет которой заключается в организации рационального процесса продвижения товаров и услуг от производителей к потребителям, функционирования сферы обращения продукции, товаров, услуг, управления товарными запасами, создания инфраструктуры товародвижения. 
 
 

ЗАДАЧА  №1.  

На заводе N выпускающем строительные материалы,   время безотказной работы станка по производству  кирпича строительного распределено по показательному закону

 f(t) = 0, 01е^-0,01t при t ³ 0 ( t – время). Найти вероятность того, что станок проработает безотказно 200 часов.

РЕШЕНИЕ:

По условию, постоянная интенсивность отказов l = 0,01. Воспользуемся формулой: