Экспоненциальное распределение

R (t) =  e^-lt                е — константа, равная 2,718...                        

R (200) = e^{-0,01 *200}= е^-2 = 2,718^-2 = 0,13534

ОТВЕТ:  Вероятность того, что станок  проработает безотказно 200 часов, равна 0,13534.  

ЗАДАЧА  №2.  

Обычно  совещание по обсуждению итогов работы компании за месяц длится час. На этот раз по истечении часа оно не закончится. Какова вероятность того, что оно закончится в ближайшие 15 мин. Длительность совещания распределена по показательному закону. Найти математическое ожидание и дисперсию  длительности совещания.  

РЕШЕНИЕ:  

M(X) = 60 (мин)

Но для  показательного распределения       М(Х) =  1/ m   , откуда  m = 1/ М(Х) = 1/ 60.

Дисперсия длительности совещания  при этом равна  D(X) = 1/ m² =  (1/ (1/60))² =  35, 998

Вероятность того, что совещание закончится в  ближайшие 15 мин (75 минут)  равна:

Р { Х< 75 | Х > 60} =  Р { (Х< 75)Ç(Х > 60) /  Р { Х > 60} = Р { 60 < Х < 75} / Р { Х > 60} = F(75)  - F(60) /  1 – А(60) =  1 – е^-75/60 – (1-е^-60/60) /  1- ( 1 – е^-60/60) = е^-1- е^-75/60 / е^-1 =  1 – е^-1/60 = 0, 221.

ОТВЕТ:

1) М(Х) =  5, 9998

2) D(X) = 35, 998

3) Вероятность  того, что совещание закончится  в ближайшие 15 минут равна 0, 221. 
 
 

ЗАДАЧА  №3.  

При приеме на работу в крупную фирму N на должность ведущего экономиста испытывают трех человек, которые не знают о существовании между ними конкуренции.  На испытуемых оказывают психологическое давление, для того чтобы проверить их на стрессоустойчивость.  Время без отказной работы испытуемых экономистов распределено по показательному закону. Для первого экономиста F₁(t) = 1 – e^-0,1t , для второго экономиста F₂(t) = 1 – e^-0,2t, для третьего  F₃(t) = 1 – e^-0,3t. Найти вероятность того, что в интервале времени [0; 10 ]  провалят испытание только 2 экономиста. 

РЕШЕНИЕ:

Введем  дополнительные события E_i = « i – тый экономист провалит испытание в интервале времени [0; 10 ]».

Так как  функция распределения F(t) = 1 – e^-lt  определяет вероятность провала экономиста  за время длительностью t, то подставив t = 10 в функцию распределения, получим вероятность провала в интервале времени [0; 10 ].

P( E₁) = F₁(10) = 1 – e^-0,1*10 = 1 – e^-1 = 0,632121

P( E₂) = F₂(10) = 1 – e^-0,2*10 = 1 – e^-2 = 0,864665

P( E₃) = F₃(10) = 1 – e^-0,3*10 = 1 – e^-3 = 0, 950213

A = « в интервале времени [0; 10 ] откажутся работать только два экономиста».

P(A) = 0,367918 * 0,135363 * 0,950197 + 0,367918 * 0,864665 * 0,049803 + 0,632121  * 0,135363 * 0,049803 = 0,067426 

ОТВЕТ: вероятность того, что в интервале времени провалят испытание только  два экономиста,  равна 0,067426 
 

ЗАДАЧА  №4. 

Фирма для облегчения работы сотрудников  приобрела 2 современных компьютера. Продолжительность безотказной работы первого и второго компьютеров  -  случайные величины Т₁ и Т₂, распределенные по показательному закону; Эти величины характеризуются функциями распределения:

F₁ (t)  = P (T₁ < t) = 1 – e^-0,02t

F₂ (t) = P (T₂ < t) = 1 – e^-0,01t 

Найти вероятность того, что в интервале  времени (0; 100) часов:

а) оба  компьютера откажут;

б) оба  компьютера не откажут;

в) только один компьютер откажет;

г) откажет  хотя бы один компьютер. 

РЕШЕНИЕ:

Исследуется работа двух компьютеров в интервале времени (0; 100) часов. Рассмотрим события:

А₁ – откажет первый компьютер;

А₂ – откажет второй компьютер;

-  не откажет первый компьютер;

- не откажет второй компьютер;

В –  откажут оба компьютера;

С –  оба компьютера не откажут;

D – откажет только один компьютер;

- откажет хотя бы один компьютер. 

Найдем  вероятности заданных событий:

P (A₁) = p₁ = F₁ (100) = 1 – e^-2 = 1 – 0,1353 = 0, 8647;

P (A₁) = p₂ = F₂ (100) = 1 – e^-1 = 1 – 0,3679 = 0, 6321;

P ( ) = q₁ = R₁ (100) = 1 – F₁ (100) = e^-2  = 0, 1353;

P ( ) = q₂ = R₂ (100) = 1 – F₂ (100) = e^-1  = 0, 3679; 

а) Событие  В – откажут оба компьютера, является произведением двух событий  A₁ и A₂ : В = A_1* А_{2 .} События А₁  и А₂ – независимые; вероятность события В найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р (В) = Р (А₁ А₂) = р₁ р₂ = 0,8647 * 0,6321 = 0,5466.  

б) Событие  С – оба компьютера не откажут, является произведением двух событий  и : С = * .

События  и - независимые: вероятность события С найдем по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р (С) = Р ( ) = q q = 0,1353 * 0,3679 = 0, 0498. 

в) Событие  D – откажет только один компьютер, равно сумме событий  А₁ и А_2. Слагаемые А₁ и А₁ представляют собой несовместные события. Вероятность события D найдем, используя теорему умножения вероятностей независимых событий и теорему сложения вероятностей несовместных событий:

Р (D) = p₁ q₂  + q₁ p₂ = 0,8647 * 0,3679 + 0,1353 * 0,6321 = 0, 4036. 

г) Событие  - откажет хотя бы один компьютер, противоположно событию С. Вероятность события равна

Р ( ) = 1 – Р(С) = 1 – q q = 1 – 0,0498 = 0,9502.  

ОТВЕТ:

а) вероятность  того, что оба компьютера откажут  равна 0,5466 ;

б) вероятность  того, что оба компьютера не откажут  0, 0498;

в) вероятность того, что только один компьютер откажет 0, 4036;

г) вероятность того, что откажет хотя бы один компьютер 0,9502. 

ЗАДАЧА  №5. 

Для обеспечения  нормальной работы оборудования необходимо закупить n видов запасных частей на сумму d рублей. Стоимость j-ой детали равна , потребность в ней есть случайная величина , имеющая показательный закон распределения с параметром . Использование j-ой детали позволяет получить прибыль . Отсутствие детали в случае необходимости приводит к убыткам . Если деталь не используется в данном периоде, то убыток составляет . Как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей?  

РЕШЕНИЕ:

Пусть - количество закупленных деталей j-го вида. Так как потребность в этих деталях равна , то доходы и издержки определяются в зависимости от соотношения между величинами и :

Значит, прибыль от деталей j-го вида можно  определить следующим образом:

Но так  как - величина случайная, то и прибыль - тоже случайная величина. Следовательно, мы должны максимизировать не саму прибыль, а ее математическое ожидание

Здесь            

плотность распределения случайной величины .     Тогда:

Общая ожидаемая прибыль вычисляется  как сумма математических ожиданий прибылей от деталей всех видов. Ограничения  задачи связаны с невозможностью превысить сумму, выделенную на закупку деталей. Кроме того, из характера переменных вытекают условия их неотрицательности и целочисленности. В результате получаем следующую математическую модель:

 
 

В данной главе показывается решение нескольких задач  с помощью показательного закона распределения. Таким образом показана значимость данного закона для различных сфер экономики. В частности с помощью показательного закона распределения можно узнать, сколько проработает то или иное оборудование без отказа, как распределить имеющиеся средства, чтобы общая прибыль была наибольшей, сколько продлится совещание по подведению итогов работы компании и многое другое. Все это необходимо знать компании для ее успешной деятельности.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ГЛАВА 3. Решение задачи №1 и №3 с помощью программы EXCEL. 

Задача  №1

1. Условия задачи: 

На заводе N выпускающем строительные материалы,   время безотказной работы станка по производству  кирпича строительного распределено по показательному закону

 f(t) = 0, 01е^-0,01t при t ³ 0 ( t – время). Найти вероятность того, что станок проработает безотказно 200 часов.  
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Решение задачи:  

По условию, постоянная интенсивность отказов l = 0,01. Воспользуемся формулой: R (t) =  e^-lt                 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Значение показательного закона надежности R (200) = e^{-0,01 *200}= е^-2 может быть вычислено следующим образом:  

 
 

ОТВЕТ: Вероятность того, что станок  проработает безотказно 200 часов, равна 0,135335. 

Задача  №3 

1. Условия задачи: 

При приеме на работу в крупную фирму N на должность ведущего экономиста испытывают трех человек, которые не знают о существовании между ними конкуренции.  На испытуемых оказывают психологическое давление, для того чтобы проверить их на стрессоустойчивость.  Время без отказной работы испытуемых экономистов распределено по показательному закону. Для первого экономиста F₁(t) = 1 – e^-0,1t , для второго экономиста F₂(t) = 1 – e^-0,2t, для третьего  F₃(t) = 1 – e^-0,3t. Найти вероятность того, что в интервале времени [0; 10 ]  провалят испытание только 2 экономиста.