Компьютерные технологии статистических методов в управлении качеством при анализе данных

откуда сразу же следует, что  среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания  значения случайной величины, имеющей  равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]: 

 

Геометрически эта вероятность  представляет  собой  площадь  заштрихованного прямоугольника. Числа  а и b называются параметрами распределения  и однозначно определяют равномерное  распределение.

2. Нормальный закон   распределения.

Интегральная  и дифференциальная функции распределения. Вероятность попадания в заданный интервал.

Одним из наиболее часто встречающихся  распределений является нормальное распределение. Оно играет большую  роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения  является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения  при часто встречающихся аналогичных  условиях.

Если предоставляется возможность  рассматривать некоторую случайную  величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные  величины, могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.

Ни одна из суммируемых случайных  величин не должна резко отличаться от других, т. е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно  большую по сравнению с другими  величинами дисперсию.

Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей  несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т. д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения.

Так как нормальному закону подчиняются  только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения  вероятности.

Определение: Непрерывная случайная  величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид:

где а и s — некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F(x) в рассматриваемом  случае принимает вид:

Параметр а- есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, s - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна:

Рассмотрим  свойства функции f(x):

1°. Областью определения функции  f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать  только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном  возрастании |х| равен нулю, т.  е. ось ОХ является горизонтальной  асимптотой графика функции. 

4°. Функция f{x) имеет в точке  х = a  максимум, равный:

5°. График функции f(x) симметричен  относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках  х = а +s  имеет перегиб, 

На основании доказанных свойств  построим график плотности нормального  распределения f(x).

Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта  форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

При изменении параметра a форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо.

При изменении параметра  s изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение  функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра  кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением s  кривая стягивается к прямой х=а.

Использование формул  f(x) и F(x) для  практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим  формулам  можно упростить, если от нормального  распределения с произвольными  параметрами а и s перейти  к  нормальному распределению с  параметрами, а=0, s = 1.

Функция плотности нормального  распределения f(x) с параметрами, а=0,    s=1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:

Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Для вычисления вероятности попадания  СВ в интервал (a, b) воспользуемся функцией    Лапласа:

Перейдем к стандартной нормальной случайной величине

Тогда

Гистограмма относительных  частот

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую  из прямоугольников, основаниями которых  служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению W_i / h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных  частот на оси абсцисс откладывают  частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i / h.

Площадь i - го частичного прямоугольника равна hWi / h = Wi - относительной частоте вариант попавших в i - й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Математическое ожидание

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей. В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через (например, от англ. Expectedvalue или нем. Erwartungswert), в русской — (возможно, от англ. Meanvalue или нем. Mittelwert, а возможно от рус. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение .

Определение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению,  — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от  по пространству, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается  или .

Математическое  ожидание дискретного распределения

Если   — дискретная случайная величина, имеющая распределение:

то прямо из определения интеграла  Лебега следует, что

Математическое  ожидание целочисленной величины

Если  — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может  быть выражено через производящую функцию  последовательности

как значение первой производной в  единице: Если математическое ожидание  бесконечно, то   и мы будем писать .

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана  с определённой ранее функцией  свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание абсолютно  непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно  непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно:

Мода, медиана, дисперсия, размах выборки

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мульти модальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило, мульти модальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

Мода как средняя величина употребляется чаще для данных, имеющих нечисловую природу. Среди перечисленных цветов автомобилей — белый, черный, синий металлик, белый, синий металлик, белый — мода будет равна белому цвету. При экспертной оценке с её помощью определяют наиболее популярные типы продукта, что учитывается при прогнозе продаж или планировании их производства.

 

Медиана — возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Медиана является важной характеристикой  распределения случайной величины и так же, как математическое ожидание, может быть использовано для центрирования распределения. Однако медиана более робастна и поэтому может быть более предпочтительной для распределений с т.н. тяжёлыми хвостами

Медиана определяется для широкого класса распределений (например, для  всех непрерывных), а в случае неопределённости, естественным образом доопределяется, в то время как математическое ожидание может быть не определено (например, у распределения Коши).

Не уникальность значения:

Если имеется чётное количество случаев и два средних значения различаются, то медианой, по определению, может служить любое число  между ними (например, в выборке {1, 2, 3, 4} медианой, по определению, может служить любое число из интервала (2,3)). На практике в этом случае чаще всего используют среднее арифметическое двух средних значений.

 

Дисперсия случайной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается   в русской литературе и   (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение   или  . Квадратный корень из дисперсии, равный  , называется среднеквадрати́чнымотклоне́нием, станда́ртнымотклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышева следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75 % случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89 % — не более чем на три.

 

Размах выборки – это разница между максимальной и минимальной вариантами.  Этот   показатель является характеристикой  рассеяния ряда  и  

показывает  диапазон варьирования  величины. На графике – это длина областиопределения полигона частот.

           R=X_max - X_min. 

 

Коэффициент асимметрии

 

Коэффициента симметрии в теории вероятностей — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

 

Определение

Пусть задана случайная величина  , такая что  . Пусть   обозначает третий центральный момент:  , а   — стандартное отклонение  . Тогда коэффициент асимметрии задаётся формулой:

.

 

Коэффициент эксцесса

 

Коэффициент эксцесса (коэффициент островершинной) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина  , такая что  . Пусть   обозначает четвёртый центральный момент:  , а   — стандартное отклонение  . Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

.

 

Квартили

 

Квантиль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Определение

Пусть есть вероятностное пространство   и   — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины  . Пусть фиксировано  . Тогда  - квантилю (или квантилью уровня  ) распределения   называется число  , такое что