Контрольная работа по "Статистике"

 

X = 

1	4,7	74
1	2,7	75
1	3	78
1	6,1	92
1	3	80
1	2,5	80
1	3,1	85
1	4,5	87
1	3,2	77
1	5	95
1	3,5	93
1	4	76
1	1,2	77
1	7	96
1	4,5	97
1	4,9	80
1	2,8	79
1	5,5	86
1	6,6	98
1	2	84

 

Далее воспользуемся  средствами MS Exсel из-за большого объема вычислений  вручную

X^TX =

20,0	79,8	1689,0
79,8	364,5	6893,3
1689,0	6893,3	143873,0

 

(X^TX)^-1 =

7,403	0,243	-0,099
0,243	0,037	-0,005
-0,099	-0,005	0,001

 

(X^TX)^-1 *X^T =

1,25	0,67	0,45	-0,18	0,25	0,13	-0,22	-0,08	0,59	-0,74	-0,91	0,89	0,11	-0,36	-1,06	0,71	0,3	0,26	-0,65	-0,39
0,07	0	-0,01	0,04	-0,02	-0,03	-0,04	0,01	0,01	-0,01	-0,06	0,04	-0,07	0,06	-0,04	0,05	-0,02	0,05	0,03	-0,07
-0,02	-0,01	0	0	0	0	0	0	-0,01	0,01	0,01	-0,01	0	0	0,02	-0,01	0	0	0,01	0,01

 

A =(X^TX)^-1 *X^T Y =

-18,257

1,246

0,2277

 

Уравнение будет  иметь вид

Y` = -18.257 + 1.246x₁ +0.2277x₂

Построим вспомогательную  таблицу 

Перейдем  к статистическому анализу полученного  уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных  ошибок аппроксимации

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем  следующие вычисления:

Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)

 

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2
3.5	4.45	-0.95	5.98
2.3	2.19	0.11	13.29
3.2	3.24	-0.0427	7.54
9.6	10.29	-0.69	13.36
4.4	3.7	0.7	2.39
3	3.08	-0.0751	8.67
5.5	4.96	0.54	0.2
7.9	7.16	0.74	3.82
3.6	3.26	0.34	5.5
8.9	9.61	-0.71	8.73
6.5	7.28	-0.78	0.31
4.8	4.03	0.77	1.31
1.6	0.77	0.83	18.88
12	12.33	-0.33	36.66
9	9.44	-0.44	9.33
4.4	6.07	-1.67	2.39
2.8	3.22	-0.42	9.89
9.4	8.18	1.22	11.94
14	12.28	1.72	64.88
2.5	3.36	-0.86	11.87
			236.93

 

 

s_e² = (Y - X*s)^T(Y - X*s) = 13.66

Несмещенная оценка дисперсии равна:

 

Оценка среднеквадратичного  отклонения равна (стандартная ошибка для оценки Y):

 

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = S • (X^TX)^-1

 

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S ²_i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Показатели  тесноты связи факторов с результатом.

Если  факторные признаки различны по своей  сущности и (или) имеют различные  единицы измерения, то коэффициенты регрессии b_j при разных факторах являются несопоставимыми. Поэтому уравнение регрессии дополняют соизмеримыми показателями тесноты связи фактора с результатом, позволяющими ранжировать факторы по силе влияния на результат.

К таким показателям тесноты связи  относят: частные коэффициенты эластичности, β–коэффициенты, частные коэффициенты корреляции.

Частные коэффициенты эластичности.

С целью расширения возможностей содержательного  анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

 

 

Частный коэффициент эластичности |E₁| < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

 

Частные коэффициент эластичности |E₂| > 1. Следовательно, он существенно влияет на результативный признак Y.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные частные коэффициенты регрессии - β-коэффициенты (β_j) показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения S(у) изменится признак-результат y с изменением соответствующего фактора х_j на величину своего среднего квадратического отклонения (S_хj) при неизменном влиянии прочих факторов (входящих в уравнение).

По  коэффициентам эластичности и β-коэффициентам  могут быть сделаны противоположные  выводы. Причины этого: а) вариация одного фактора очень велика; б) разнонаправленное  воздействие факторов на результат.

Коэффициент β_j может также интерпретироваться как показатель прямого (непосредственного) влияния j-ого фактора (x_j) на результат (y). Во множественной регрессии j-ый фактор оказывает не только прямое, но и косвенное (опосредованное) влияние на результат (т.е. влияние через другие факторы модели).

Косвенное влияние измеряется величиной: ∑β_ir_xj,xi, где m - число факторов в модели. Полное влияние j-ого фактора на результат равное сумме прямого и косвенного влияний измеряет  коэффициент линейной парной корреляции данного фактора и результата - r_xj,y.

Частные коэффициенты корреляции.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи умеренная

 

 

Теснота связи сильная

 

 

Теснота связи умеренная

Индекс  множественной корреляции (множественный  коэффициент корреляции).

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной  корреляции.

В отличии от парного коэффициента корреляции, который может принимать  отрицательные значения, он принимает  значения от 0 до 1.

Поэтому R не может быть использован для  интерпретации направления связи. Чем плотнее фактические значения yi располагаются относительно линии  регрессии, тем меньше остаточная дисперсия  и, следовательно, больше величина R_y(x1,...,xm).

Таким образом, при значении R близком к 1, уравнение регрессии лучше описывает  фактические данные и факторы  сильнее влияют на результат. При  значении R близком к 0 уравнение  регрессии плохо описывает фактические  данные и факторы оказывают слабое воздействие на результат.

 

Связь между признаком Y факторами X  сильная

 

Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

r(0.9436;0.9979)

Коэффициент детерминации.

R²= 0.97² = 0.9424

т.е. в 94.24 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

 

 

 

 

Задача 9.16. По данным приложения 15 произведите аналитическое выравнивание ряда динамики методом наименьших квадратов и получите уравнение тренда. Найдите показатели вариации фактических уровней вокруг тренда. Вычислите средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста и темп прироста. Оцените степень сезонных колебаний уровней ряда, используя индексы сезонности. Ряд динамики и тренд изобразите на графике. Осуществите точечный прогноз уровней на перспективу. По результатам расчетов сделайте выводы.

Приложение 15

Производительность  труда, кг/час

Месяцы	Годы
	1	2	3
I	11,22	10,05	10,17
II	6,14	8,95	8,89
III	9,70	9,56	8,94
IV	8,06	7,75	8.00
V	8,66	8,54	8,32
VI	9,13	9,25	9,15
VII	9,11	8,93	9,01
VIII	9,14	9,15	9,50
IX	10.00	11,03	10,05
X	10,19	11,50	11,74
XI	12,36	12,59	12,61
XII	9,51	10,12	11,01

 

 

Решение

 

При выборе вида функции тренда можно  воспользоваться методом конечных разностей (обязательным условием применения данного подхода является равенство  интервалов между уровнями ряда).

Конечными разностями первого порядка  являются разности между последовательными  уровнями ряда:

Δ¹_t = Y_t - Y_t-1

Конечными разностями второго порядка  являются разности между последовательными  конечными разностями 1-го порядка:

Δ²_t = Δ¹_t - Δ¹_t-1

Конечными разностями j-го порядка  являются разности между последовательными  конечными разностями (j–1)-го порядка:

Δ^j_t = Δ^j-1_t - Δ^j-1_t-1

Если общая тенденция выражается линейным уравнением Y = a + bt, тогда конечные разности первого порядка постоянны: Δ¹₂ = Δ¹₃ = ... = Δ¹_n, а разности второго порядка равны нулю.

Если общая тенденция выражается параболой второго порядка: Y = a+ bt + ct², то получим постоянными конечные разности второго порядка: Δ²₃ = Δ²₄ = ... = Δ²_n, нулевыми – разности третьего порядка.

Если примерно постоянными оказываются  темпы роста, то для выравнивания применяется показательная функция.

При выборе формы уравнения следует  исходить из объема имеющейся информации. Чем больше параметров содержит уравнение, тем больше должно быть наблюдений при одной и той же степени  надежности оценивания.

Выбор формы кривой может осуществляться и на основе принятого критерия качества уравнения регрессии, в качестве которого может служить сумма  квадратов отклонений фактических  значений уровня ряда от значений уровней, рассчитанных по уравнению тренда.

Из совокупности кривых выбирается та, которой соответствует минимальное  значение критерия. Другим статистическим критерием является коэффициент  множественной детерминации R².

 

yi	Δ1t	Δ2t	Темп роста
11.22	-	-	-
6.14	-5.08	-	0.55
9.7	3.56	8.64	1.58
8.06	-1.64	-5.2	0.83
8.66	0.6	2.24	1.07
9.13	0.47	-0.13	1.05
9.11	-0.02	-0.49	1
9.14	0.03	0.05	1
10	0.86	0.83	1.09
10.19	0.19	-0.67	1.02
12.36	2.17	1.98	1.21
9.51	-2.85	-5.02	0.77
10.05	0.54	3.39	1.06
8.95	-1.1	-1.64	0.89
9.56	0.61	1.71	1.07
7.75	-1.81	-2.42	0.81
8.54	0.79	2.6	1.1
9.25	0.71	-0.08	1.08
8.93	-0.32	-1.03	0.97
9.15	0.22	0.54	1.02
11.03	1.88	1.66	1.21
11.5	0.47	-1.41	1.04
12.59	1.09	0.62	1.09
10.12	-2.47	-3.56	0.8
10.17	0.05	2.52	1
8.89	-1.28	-1.33	0.87
8.94	0.05	1.33	1.01
8	-0.94	-0.99	0.89
8.32	0.32	1.26	1.04
9.15	0.83	0.51	1.1
9.01	-0.14	-0.97	0.98
9.5	0.49	0.63	1.05
10.05	0.55	0.06	1.06
11.74	1.69	1.14	1.17
12.61	0.87	-0.82	1.07
11.01	-1.6	-2.47	0.87