Показатели вариации и их значение в статистическом анализе

      Итак, дисперсия представляет собой  средний квадрат отклонений индивидуальных  значений признака от их средней  величины и вычисляется в виде  простой и взвешенной дисперсии  (в зависимости от исходных  данных):

(простая дисперсия), 

(взвешенная дисперсия).

     Дисперсия представляет собой  среднюю величину квадратов отклонений. В рассматриваемом случае варианты  признака выражены в первой  степени, значит, и мера их вариации  также должна быть взята в первой степени.

     Чтобы выполнить расчет вариабельности  признака, достаточно извлечь из  дисперсии корень второй степени,  получив тем самым среднее  квадратическое отклонение ( ). Значит, среднее квадратическое отклонение рассчитывается как корень квадратный из дисперсии по одной из двух формул:

,

.

     Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика  размеров вариации признака в  статистической совокупности. Оно  выражается в тех же единицах измерения, что и сам признак (в метрах, тоннах, рублях, процентах и т.д.).

     Среднее квадратическое отклонение  от средней так же, как и  среднее линейное отклонение, показывает, на сколько в среднем отклоняются  конкретные варианты от среднего их значения. Расчет несколько сложнее, чем расчет , но более чутко реагирует на вариацию и органически вписывается в аппарат математической статистики.

     Среднее квадратическое отклонение играет важную роль в анализе рядов распределения. В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений:

1) в пределах X ± 1σ располагается 68,3 % количества наблюдений;  
2) в пределах X ± 2σ – 95,4 %  количества наблюдений;  
3) в пределах X ± 3σ – 99,7 %  количества наблюдений; 

     На практике почти не встречаются  отклонения, которые превышают ±3 может считаться максимально возможным. Это положение называют правилом трех сигм.

     До сих пор говорилось о  показателях вариации выраженных  в абсолютных величинах. Однако  для целей сравнения колеблемости  различных признаков в одной  и той же статистической совокупности  или при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Ведь среднее линейное и средне квадратическое отклонения величины именованные, они выражаются в тех же единицах, что и изучаемый признак. Кроме того, если они в различных совокупностях выражены в одинаковых единицах измерения  и, скажем, даже если равны, но средние арифметические в изучаемых совокупностей не одинаковы, то для каждой совокупности они имеют различные значения. Поэтому в целях сопоставимости  и приводится к относительному виду - подсчитывается специальный показатель, называемый коэффициентом вариации, выражаемый обычно в процентах.

     При построении относительных показателей вариации базой для сравнения  должна служить средняя арифметическая. Эти показатели вычисляются как отношение размаха вариации, среднего линейного отклонения или среднего квадратического отклонения к средней арифметической или медиане. Чаще всего они выражаются в процентах и не только определяют сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

       Различают следующие относительные показатели вариации (V).

Коэффициент осцилляции ( ):

Линейный  коэффициент вариации( ):

Коэффициент вариации ( ):

     Наиболее часто в расчетах встречается коэффициент вариации. Из формул коэффициента вариации видно, что количественно он представляет своеобразный удельный вес среднего отклонения в среднем арифметическом показателе, выраженный в процентах. В коэффициенте вариации устраняется несопоставимость, не только связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и возникающая вследствие различий в величине средних арифметических.

     Необходимо отметить, что коэффициенты  вариации нередко называют также  коэффициентами различий. При невысоких их значениях может быть рекомендовано исчисление так называемых коэффициентов однородности - величин, дополняющих коэффициенты вариации (различий) до единицы, или до 100%.

     Рассмотренные обобщающие показатели  вариации находят широкое распространение в статистике, в частности, для оценки равномерности тех или иных процессов, совершающихся как в пространстве, так и во времени. Среднее квадратическое отклонение необходимо при анализе выборочных показателей и показателей связи признаков.

     Важная функция показателей вариации - оценка надежности средних. Чем  меньше  , и , тем однороднее изучаемая совокупность явлений и надежнее полученная средняя. Зная X  и , можно получить общее представление о вариационном ряде.

     Таким образом, как анализ средних  величин должен дополняться вариационным  анализом колеблемости, изменчивости  индивидуальных значений признаков,  так и вариационный анализ  целесообразно сочетать с анализом различий индивидуальных, групповых и общих средних величин.

2.2 Применение показателей  вариации в анализе  рядов распределения

     Асимметрия и эксцесс являются характеристиками формы распределения.

     Ряды распределения могут иметь один и тот же центр группирования (показатели центра распределения) и одинаковые пределы варьирования признака (показатели вариации), однако при этом отличается характером распределения единиц совокупности вокруг центра. Если большая часть совокупности расположена левее центра, имеет место левосторонняя асимметрия, если правее - правосторонняя.

     Для оценки асимметричности применяют  моментный и структурный коэффициенты  асимметрии.

     Моментный коэффициент асимметрии определяется по формуле:

,где - центральный момент третьего порядка:

.

     На направление асимметрии указывает знак коэффициента: если Аs<0,то это левосторонняя асимметрия (ее называют также отрицательной асимметрией), при правосторонней (положительной) асимметрии Аs>0.

     Степень существенности асимметрии  можно оценить с помощью средней  квадратической ошибки коэффициента  асимметрии, которая зависит от  объема изучаемой совокупности  и рассчитывается по формуле:

где n-число единиц совокупности

     Если отношение  , асимметрия считается существенной, если , то асимметрия признается несущественной, вызванной влиянием случайности.

     Основной недостаток моментного  коэффициента асимметрии заключается в том, что его величина зависит от крайних значений признаков в совокупности резко выделяющихся (нетипичных) единиц. В последнем случае моментный коэффициент малопригоден, поскольку его большая величина будет объясняться доминирующим вкладом в величину центрального момента третьего порядка нетипичных значений, а не асимметричностью распределения основной части единиц. В таких случаях рекомендуют либо исключить из анализа резко выделяющиеся единицы, либо использовать структурные показатели асимметрии.

     Структурные показатели (коэффициенты) асимметрии характеризуют асимметричность  только в центральной части  распределения, т.е. основной массы  единиц, и в отличие от моментного  коэффициента не зависят от  крайних значений признака.

     Наиболее часто применяют структурный  коэффициент асимметрии, предложенный  английским статистиком  К.  Пирсоном:

.

     Учитывая, что в умеренно асимметричном распределении расстояния между показателями центра распределения характеризуются равенством формула К. Пирсона может быть записана следующим образом:

.

     Другим свойством рядов распределения  является эксцесс. Под эксцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением при той же силе вариации. Другими словами, эксцесс - это отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой  нормального распределения. При этом эксцесс определяется только для симметричных и умеренно асимметричных распределений. Чаще всего на практике эксцесс оценивается с помощью следующего показателя:  

где - центральный момент четвертого порядка:

.¹

     Формула эксцесса основана на отклонении от нормального распределения (в нормальном распределении отношение ). Распределения более островершинные, чем нормальные, обладают положительным эксцессом (Ex>0), более плосковершинные - отрицательным (Ex<0). Положительный эксцесс свидетельствует о том, что в совокупности есть слабо варьирующие по данному признаку «ядро», а в плосковершинных распределениях такого «ядра» нет, и единицы рассеяны по всем значениям признака более равномерно.

     Чтобы оценить существенность эксцесса распределения, рассчитывают среднюю квадратическую ошибку эксцесса:

.

     Если отношение  , то отклонение от нормального можно считать существенным.

     Необходимо отметить, что хотя  показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально-экономических явлений. Например, появление значительного отрицательного эксцесса может указывать на качественную неоднородность исследуемой совокупности. Кроме того, эти показатели позволяют сделать вывод о возможности отнесения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения. 

__________________________________

1. Шмойлова. Р.А. Теория статистики. – «Финансы и статистика», М., 2003г., стр. 266.

2.3 Дисперсионный анализ

     В процессе наблюдения за исследуемым  объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например, определенный температурный режим, выбранное оборудование или материал) называется уровнем фактора или способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными  уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами - моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В настоящее время общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.

     В зависимости от количества  факторов, определяющих вариацию  результативного признака, дисперсионный  анализ подразделяют на однофакторный  и многофакторный.

     Основными схемами организации  исходных данных с двумя и  более факторами являются:

       - перекрестная классификация, характерная для моделей I, в которых каждый уровень одного фактора сочетается при планировании эксперимента с каждой градацией другого фактора;

       - иерархическая (гнездовая) классификация, характерная для модели II, в которой каждому случайному, наудачу выбранному значению одного фактора соответствует свое подмножество значений второго фактора.

     Если одновременно исследуется  зависимость отклика от качественных  и количественных факторов, т.е.  факторов смешанной природы, то используется ковариационный анализ.

     При обработке данных эксперимента  наиболее разработанными и поэтому  распространенными считаются две  модели. Их различие обусловлено  спецификой планирования самого эксперимента. В модели дисперсионного анализа с фиксированными эффектами исследователь намеренно устанавливает строго определенные уровни изучаемого фактора. Термин «фиксированный эффект» в данном контексте имеет тот смысл, что самим исследователем фиксируется количество уровней фактора и различия между ними. При повторении эксперимента он или другой исследователь выберет те же самые уровни фактора. В модели со случайными эффектами уровни значения фактора выбираются исследователем случайно из широкого диапазона значений фактора, и при повторных экспериментах, естественно, этот диапазон будет другим.