Задач по "Теории вероятностей"

Задание 7.1.

Рейсовый  катер может опоздать вследствие двух независимых причин: плохой погоды и неисправности оборудования. Вероятность  плохой погоды равна 0,3, вероятность  неисправности 0,4. Найти вероятность  того, что катер опоздает: а) только по причине плохой погоды; б) по любым  причинам.

 

Решение. Обозначим через A, B случайные события, наступающие в случаях, когда катер опаздывает по причине плохой погоды или неисправности соответственно, р(А)=0,3, р(В)=0,4. Введем также события: С – катер опаздывает только по причине плохой погоды, D – по любым причинам.

а) Представим событие в виде С=А· . Применяя теорему умножения вероятностей и учитывая очевидную из условия независимость событий А, В находим

                    Р(С) = Р(А ·  ) = Р(А) · Р( ) = 0,3 ·(1-0,4)=0,3*0,6=0,18

б) Согласно условию D=А· + ·В+АВ. По теореме сложения вероятностей с учетом несовместности слагаемых имеем

                    Р(D) = P(А· + ·В+АВ) = P(А· ) + P( ·В)+Р(АВ)

 

Вновь применяя теорему умножения при  независимых сомножителях находим

P(D) = P(A)·P( ) + P( )·P(B) +Р(АВ)= P(A) · (1- P(B)) + (1- P(A)) · P(B)+Р(А)Р(В) =

= 0,3(1-0,4) + (1-0,3)0,4+0,3*0,4 = 0,3*0,6*0,7*0,4*0,3*0,4=0,006.

Задание 7.2. 

При сборке подшипников используются шарики, 30% которых поставляет цех 1 и 70% - цех 2. Доли брака в цехах составляют 0,1 и 0,05 соответственно. а) Найти  вероятность  брака подшипника; б) подшипник оказался бракованным. Найти вероятность  того, что виновником является цех 1.

 

Решение.  Обозначим через Н_i (i = 1,2) гипотезу - кинескоп изготовлен i-тым заводом. Очевидно, что Н₁, Н₂ несовместны и Н₁ + Н₂ = I - достоверное событие. Из условия видно также, что Р(Н₁) = 0,3 ,     Р(Н₂) = 0,7. Обозначим через А событие: очередной кинескоп окажется нестандартным.

а) По формуле полной вероятности имеем:  Р(А) = Р(А / Н₁) · Р(Н₁) + Р(А / Н₂) · Р(Н₂).

Согласно  условию  Р(А / Н₁) = 0,1,   Р(А / Н₂) = 0,05 ,

поэтому  Р(А) = 0,1·0,3 + 0,05·0,7 = 0,03+0,035=0,065.                             

б) Для вычисления искомой вероятности  Р(Н₁ / А)  используем формулу Байеса

 

                       

 

Задание 7.3.

 

Построить ряд  распределения, функцию распределения  и ее график, найти математическое ожидание и дисперсию случайной  величины X - числа наступлений случайного события  А в указанной ниже серии независимых испытаний.

 

Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, извлекается  наугад шар (если он белый, то наступило  А), который затем возвращается в  урну. Опыт повторяется 3 раза.

 

Решение.  

 

Случайная величина (СВ)Х - число белых шаров - может принимать значения 0, 1, 2.  Вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли при р = 2/5=0,4,   q = 1- 0,4 = 0,6.

,                ,

 

Ряд распределения СВ Х имеет вид:

        

xi	0	1	2
pi	0,36	0,48	0,16

 

Функция распределения по определению равна  F(x) = P( X < x ) и запишется:

 

                             

 

График

                                                                                                 

                                         F(x)

 

                                 1                                                                        

                             

                              0,8

 

                  0,4      

 

                  0,2 

                                                                                                                             x

                                                                                                                

                                                                       1              2             3

 

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

     

D[x] = 1,12 – 0,64 = 0,48.

 

Задание 7.4.   По заданной функции распределения F(x) случайной величины СВ X найти плотность распределения и построить ее график. Вычислить вероятность P(a≤X≤b) попадания значения СВ в заданный интервал, математическое ожидание и дисперсию.

 

 

Решение.   Плотность распределения определяется по формуле

                              

и показана на рисунке

 

                                     f(x)     

 

 

          

                                

2/9

 

                                                                                                                         

                                        0                                           9                       x

 

Искомая вероятность равна:  

Математическое  ожидание и дисперсия запишутся:

  

 

Задание 7.5.

 

Найти вероятность  попадания в заданный интервал [a,b] значения нормально распределенной случайной величины X, если известно её математическое ожидание M[X] и дисперсия D[X].

 

M[X]	D[X]		b
7	4	3	10

 

 

Решение.   Искомая вероятность вычисляется по формуле

                   

Среднеквадратическое  отклонение  поэтому

Здесь учтена нечётность вспомогательной  функции 

Берём её значение из таблицы:  Ф(1,5) =        0,87       ,    Ф(2) =          0,95     ,

откуда  Р =       0,82       .

 

Задание 7.6.

В партии из n изделий каждое может оказаться стандартным с вероятностью p. С помощью локальной и интегральной формул Муавра-Лапласа вычислить вероятность того, что число стандартных деталей в партии будет:

а) равно  m;   б) заключено между m₁ и m₂.

 

p	n	m	m1	m2
0,4	350	137	135	155

    

Решение.   а) Искомая вероятность при n >> 1,     np >> 1  вычисляется по локальной формуле (q = 1 - p)       

   

где вспомогательная функция имеет  вид:    .

Для  х = 0,33  имеем после вычислений  р₁ = 0,26.

 

б) Вероятность вычисляется с помощью  интегральной формулы 

откуда  с помощью таблицы для Ф(х) и имеем Р₂ = 0,9                +     0,42            =1,32

 

Задание 7.7.   Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность распределения

            

Найти вероятность попаданий значения (X,Y) в область  х₁ ≤ х ≤ х₂ ,   y₁ ≤ y ≤ y₂ , вероятность попадания значения Х в интервал  х₁ ≤ х ≤ х₂ ,  математическое ожидание

М[x] и условное математическое ожидание  M[Y/X = x].

a = 2,       в = 5,      х₁ = 1,       х₂ = 9,      у₁ = - 4,       у₂ = 3.              

a	b	x1	x2	y1	y2
5	3	2	4	-4	1

 

Решение.   Найдём вероятность попадания в область S(х₁ ≤ х ≤ х₂ ,   y₁ ≤ y ≤ y₂ ) по формуле Р(х₁ ≤ X ≤ х₂ ,   y₁ ≤ Y ≤ y₂ ) =

При вычислении интеграла учитывается  та часть области S, где  f ≠ 0,

т.е.  0 ≤ х ≤ 4,    0 ≤ у ≤ 1:

Плотность вероятности для составляющей Х  имеет вид: .

Если  х < 0  или х > 5,  то  f(x, y) = 0  и f1(x) = 0.  При 0 ≤ х ≤ 5  находим

                                  

Таким образом плотность имеет вид:  

                                                             (1)

Тогда

 

     Условное математическое ожидание  М[Y/X = x] определяется с помощью условной плотности распределения f2(y/x) составляющей Y (т.е. плотности СВ Y при условии, что СВ Х приняла известное значение х):

                                                                                     (2)

     Согласно (1) СВ Х  может принимать  лишь значения  0 ≤ х ≤ 5, поэтому из (2), (1) и условия задачи получаем  

                           

Искомое математическое ожидание равно

          (3)

Полученная  зависимость называется уравнением регрессии Y на Х.

 

Задание 7.8.   СВ Х имеет плотность распределения. Для СВ Y = φ(Х) найти её плотность распределения g(y), вероятность P(а ≤ Y ≤ в), математическое ожидание

M[Y] и дисперсию D[Y].

 

 

 

Решение.   Плотность распределения СВ Y = φ(x) даётся формулой

 

                                  g(y) = f(ψ(y))/ψ'(y)/                                                            (1)

 

где  х = ψ(у) - функция, обратная к у = φ(х). В данном случае  у = φ(х) = x+4,

х = ψ(у) = у + 4.  Согласно и условию задачи находим

                     

Остальные величины можно вычислить с помощью  g(y)  или непосредственно через f(x)  по формулам

 

 

 

 

 

Задание 7.9.  

Задана матрица  перехода системы из состояния i (i=1,2) в состояние j (j=1,2) за один шаг . Найти матрицу перехода из состояния i в состояние j за два шага.

a	b	C	D
0,4	0,6	0,5	0,5

 

 

Решение.   Заданная матрица имеет вид: 

 

Матрица перехода  i → j  за  n  шагов равна Аⁿ  и для n = 2  запишется

                 

                          

 

 

 

 

Задача 8.1.

 

Из  генеральной совокупности извлечена  выборка, представленная в виде статистического  ряда (в первой строке указаны выборочные значения x_i, во второй  - соответствующие им частоты n_i). Требуется вычислить выборочное среднее , выборочную дисперсию D_в, исправленную выборочную дисперсию S² и среднеквадратическое отклонение S, эмпирическую функцию распределения.

 

  

 

xi	2	3	4	5	6	7	8
ni	4	11	25	30	15	10	5