Задач по "Теории вероятностей"

 

Решение. Объём выборки равен . Выборочные среднее и дисперсия вычисляются по формулам

Исправленная  выборочная дисперсия равна 

Тогда "исправленное" выборочное среднеквадратическое отклонение будет

     

Задача 8.2.

    По заданным выборочным среднему и исправленному среднеквадратическому отклонению s найти с доверительной вероятностью  p доверительный интервал для математического ожидания  M[X], если

 а)  известно (принять ),

 б)  неизвестно,

 а также  доверительный интервал для  . Число степеней свободы принять равным 3.

 

	s	N	p
18,7	5,4	200	0,99

 

 Решение. а) В случае, когда среднеквадратическое отклонение (СКО) известно

(s  [X]=5,4), доверительный интервал для математического ожидания можно запи-сать

где корень уравнения Φ(t) = g/2 = 0.495 отыскивается из таблицы значений функ-ции Лапласа

и равен t = 2.58. Вычисляя величину

находим доверительный интервал (17.715;19.658).

б) Если СКО неизвестно, в качестве его оценки принимается значение s (s [X] ≈ s), причём значение t определяется из таблицы распределения Стьюдента при g = 0.99 и числе степеней свободы, равном 3 (t=4.54). Тогда доверительный интервал имеет вид (16.97;  20.43).

       Доверительный интервал для s [X] запишется

s(1- q) < s [X] < (1 + q)

где q определяется из таблицы q = q(p, n) и для доверительной вероятности g  =0.99 и объёма выборки n=200 равно q = 0.4. Поэтому границы интервала принимают вид

s(1-q) = 5,4(1-0.4) = 3.24,      s(1+q) =5.4(1+0,4) = 7.56,

т.е., 3.24 <  s [X] <7.56.

Задача 8.3.

1.Выборку значений СВ Х, указанную  в условии задачи 8.1 сгруппировать,  разбивая отрезок [a,b] (а = min х_i;  b = max х_i) на 5 интервалов с границами

и подсчитать частоты интервалов.

2. Предполагая, что Х распределена  по нормальному закону и принимая в качестве параметров М[X], s[X] их оценки  , s вычислить теоретические частоты интерва-лов.

3. С помощью критерия согласия  Пирсона при уровне значимости α =0.1проверить, согласуются ли выборочные данные с гипотезой о нормальном распределении величины Х. Число степеней свободы принять равным трём.

 

xi	2	3	4	5	6	7	8
ni	4	11	25	30	15	10	5

 

Решение. 1. Из статистического ряда задачи 8.1видно, что а=min x_i = 2, в = max x_i = 8, поэтому (в-а)/5=1.2 и границы интервалов будут ξ₀ = 2, ξ₁ = 2+1.2=3.2, ξ₂ = 3.2+1.2=4.4, ξ₃ =4.4+1.2=5.6, ξ₄ =5.6+1.2= 6.8, ξ₅ = 6.8+1.2=8.

Эмпирическая  частота r_j интервала (j =0,..,4) подсчитывается с помощью ряда как число наблюдений, попавших в интервал, отнесённое к объёму выборки n. Так, в первый (j =0) интервал [2;3.2] попало 4+11=15 значений, поэтому r₀  =15/100 =0.15. Aналогично, r₁= 0.25, r₂=0.3, r₃=0.2, r₄=0.15.

2. Примем в качестве параметров  нормального распределения Х вычисленные в задаче 8.1 значения точечных оценок

M[X] = = 4.91,      s[X] = s = 1.44

Теоретические частоты  интервалов (j =0,1,..,4) являются вероятностями

С помощью таблиц интеграла Лапласа  находим

3. Вычисляем значение 

По  таблице распределения χ² Пирсона для доверительной вероятности g = 1-α = 0.9 и числа степеней свободы n = 3 находим значение . Поскольку гипотезу о нормальном распределении СВ Х следует считать не противоречащей выборочным данным.

 

Задание 8.4.

 

По заданной корреляционной таблице найти выборочные средние  среднеквадратические отклонения s_x, s_y, коэффициент корреляции и уравнение линейной регрессии Y на X. Вычислить условные средние по данным таблицы и с помощью выборочного уравнения регрессии и найти наибольшее их отклонение.

 

Y X	15	20	25	30	35	nx
18	1	2				3
20	1	2	4			7
22		4	3	9		16
24		2	5	6		13
26			1	7	1	9
28				1	1	2
ny	2	10	13	23	2	50

 

 

 

Решение. Вычислим выборочные средние и среднеквадратические отклонения для X,Y

Выборочный  коэффициент корреляции между Х и У отыскивается по формуле  

Согласно  таблице 

откуда 

    

Выборочное  линейное уравнение регрессии У  на Х имеет вид  

или, с учётом вычисленных значений,                                          

Условное  среднее при x = xi вычисляется по формуле 

где - число выборочных значений yj , наблюдавшихся при данном xi . Согласно данным из таблицы находим

 

     

Значения  условных средних  , отыскиваемые по уравнению регрессии :

Отклонения значений    будут

 

d1 = 5-20.1=-15.1;  d2 = 7.75-22.56 = -14.81; d3 = 1.54, d4 = -0.94; d5 = 0.06;

d6 = 0.1.

Наибольшее  по абсолютной величине отклонение равно  -15.1.