САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ  АКАДЕМИЯ УПРАВЛЕНИЯ И ЭКОНОМИКИ

МУРМАНСКИЙ  ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ

 

ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

Заочная форма обучения

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине  «Математика» 
 
 
 
 
 
 

ВЫПОЛНИЛ 

Студент                                                                                     Чернова Л.С. 

                          Группа 9-5331/4-2

                                                                                                    (Б2-29)

         Курс 4

         Контактный телефон:

              +7-921-165-5791

                                                                                                                                                              

 

        
 
 

ПРОВЕРИЛ

Преподаватель                                                                          А.В. Белошистая 
 
 
 
 
 
 
 
 

Мурманск

2011

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВЕДЕНИЕ 

     Задача  любой науки, в том числе, экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности, относящиеся к экономике, имеют не только теоретическую ценность, они широко применяются на практике – в планировании, управлении и прогнозировании.

     Теория  вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений (явлений с неопределенным исходом, происходящих при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий).

     На  теории вероятностей базируется еще  одна важная для экономики наука  – математическая статистика; она  оперирует результатами наблюдений над случайными явлениями; используя результаты, полученные теорией вероятностей, математическая статистика позволяет не только оценить значения искомых характеристик, но и выявит степень точности получаемых при обработке данных выводов.

     Задача  контрольной работы – представить решение восьми задач по теории вероятностей и математической статистике.

     Цель  исследования – научиться на практике применять элементы теории вероятностей и математической статистики. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Решение задач

1.1. Задача 1 

Дано:

В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть хотя бы один раз, купив 3 билета? 
 

Решение:

Пусть событие А – хотя бы один выигрыш из 3-х купленных билетов,

события А₁, А₂, А₃ – выигрыш в первом, втором, третьем билетах соответственно,

тогда событие Ā – отсутствие выигрыша в 3-х купленных билетах,

      события Ā₁, Ā₂, Ā₃ – отсутствие выигрыша в первом, втором, третьем билетах соответственно.

Найдем  вероятность события А через противоположное событие Ā.

Совместное появление нескольких событий - это их произведение:

     Ā= Ā₁ * Ā₂* Ā₃     (1)

По теореме  умножения вероятностей зависимых  событий¹:

     Р(Ā)=Р(Ā₁)*Р(Ā₂ | Ā₁)* Р(Ā₃ | Ā₁ Ā₂)     (2)

     Р(Ā)=(6/10)*(5/9)* (4/8)=0,167

По 2-му следствию из теоремы сложения вероятностей:

     Р(А)=1-Р(Ā)          (3)

     Р(А)=1-0,167=0,833 

Ответ: вероятность выиграть хотя бы один раз, купив 3 билета Р(А)= 0,833. 
 
 

      1.2. Задача 2 

      Дано:

Вероятность поломки (выхода из строя) в течение  дня у каждого из трех работающих самосвалов равна соответственно р₁=0,05, р₂=0,15, р₃=0,25. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня:

     а) все самосвалы выйдут из строя;

     б) ни один не выйдет из строя;

     в) хотя бы один выйдет из строя;

     г) точно один выйдет из строя. 
 

     Решение:

Рассмотрим  вариант а) вероятность того, что в течение рабочего дня все самосвалы выйдут из строя.

 Пусть событие А – выход из строя всех самосвалов,

события А₁, А₂, А₃ – выход из строя первого, второго, третьего самосвалов соответственно.

Совместное  появление нескольких событий - это  их произведение²:

     А= А₁* А₂* А₃     (4)

По теореме  умножения вероятностей независимых  событий:

     Р(А)=Р(А₁)*Р(А₂)* Р(А₃)     (5)

     Р(А)=0,05*0,15*0,25=0,002 

Рассмотрим вариант б) вероятность того, что в течение рабочего дня ни один самосвал не выйдет из строя.

Пусть событие А – выход из строя всех самосвалов,

события А₁, А₂, А₃ – выход из строя первого, второго, третьего самосвалов соответственно,

тогда событие Ā – исправная работа всех самосвалов,

      события Ā₁, Ā₂, Ā₃ – исправная работа первого, второго, третьего самосвалов соответственно.

Совместное  появление нескольких событий - это  их произведение:

     Ā= Ā₁ * Ā₂* Ā₃             (6)

По теореме  умножения вероятностей независимых  событий:

     Р(Ā)=Р(Ā₁)*Р(Ā₂)* Р(Ā₃),             (7)

где    Р(Ā₁)=1-Р(А₁)=1-0,05=0,95            

     Р(Ā₂)=1-Р(А₂)=1-0,15=0,85            

     Р(Ā₃)=1-Р(А₃)=1-0,25=0,75            

     Р(Ā)=0,95*0,85*0,75=0,606 

Рассмотрим вариант в) вероятность того, что в течение рабочего дня хотя бы один самосвал выйдет из строя.

Пусть событие А – выход из строя хотя бы одного самосвала,

тогда событие Ā – исправная работа всех самосвалов,

      события Ā₁, Ā₂, Ā₃ – исправная работа первого, второго, третьего самосвалов соответственно.

     Р(А)=1-Р(Ā),                                 (8)

Из варианта б) Р(Ā)=0,606

     Р(А)=1-0,606=0,394 

Рассмотрим вариант г) вероятность того, что в течение рабочего дня точно один самосвал выйдет из строя.

Пусть событие А – выход из строя точно одного самосвала,

события А₁, А₂, А₃ – выход из строя первого, второго, третьего самосвалов соответственно,

события Ā₁, Ā₂, Ā₃ – исправная работа первого, второго, третьего самосвалов соответственно.

     Событие А может осуществиться несколькими способами, т.е. распадется на несколько несовместных вариантов: может быть поломка первого самосвала и исправная работа второго и третьего, или поломка второго самосвала и исправная работа первого и третьего, или, наконец, поломка третьего самосвала и исправная работа первого и второго. Следовательно, событие А можно представить³:

     А=А₁* Ā₂* Ā₃+ А₂* Ā₁* Ā₃+ А₃* Ā₁* Ā₂                        (9)

По теореме  сложения и умножения вероятностей независимых событий:

     Р(А)=Р(А₁)* Р(Ā₂)* Р(Ā₃)+ Р(А₂)* Р(Ā₁)*Р(Ā₃)+ Р(А₃)* Р(Ā₁)*Р(Ā₂)       (10)

     Р(А)=0,05*0,85*0,75+0,15*0,95*0,75+0,25*0,95*0,85=0,341 

Ответ: а) вероятность того, что в течение рабочего дня все самосвалы выйдут из строя, Р(А)= 0,002;

     б) вероятность того, что в течение рабочего дня ни один самосвал не выйдет из строя, Р(А)= 0,606;

     в) вероятность того, что в течение рабочего дня хотя бы один самосвал выйдет из строя, Р(А)= 0,394;

     г) вероятность того, что в течение рабочего дня точно один самосвал выйдет из строя, Р(А)= 0,341 

     1.3. Задача 3 

     Дано:

В ящике  содержится n₁=10 деталей, среди которых n₂=4 бракованных. Определить вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей

     а) все качественные;

     б) точно одна качественная;

     в) по крайней мере, одна качественная. 
 

     Решение: 

Рассмотрим  вариант а) определить вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей все качественные.

Пусть событие А – появление трех качественных деталей

события А₁, А₂, А₃ – появление качественной детали при первой, второй, третьей выемках соответственно.