Теория вероятности. Задачи

Совместное  появление нескольких событий - это  их произведение:

     А= А₁ * А₂* А₃             (11)

По теореме  умножения вероятностей зависимых  событий:

     Р(А)=Р(А₁)*Р(А₂ | А₁)* Р(А₃ | А₁ А₂)             (12)

     Р(А)= (6/10)*(5/9)*(4/8)=0,167 

Рассмотрим  вариант б) определить вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей точно одна качественная.

Пусть событие А – появление точной одной качественной детали,

события А₁, А₂, А₃ – появление качественной детали при первой, второй, третьей выемках соответственно,

события Ā₁, Ā₂, Ā₃ – появление бракованной детали при первой, второй, третьей выемках соответственно.

Событие А можно представить:

     А=А₁* Ā₂* Ā₃+ Ā₁ *А₂* Ā₃+ Ā₁* Ā₂ *А₃

По теореме  умножения вероятностей зависимых  событий:

     Р(А)=Р(А₁)*Р(Ā₂ | А₁)* Р(Ā₃ | А₁  Ā₂)+ Р(Ā₁)*Р(А₂ | Ā₁)* Р(Ā₃ | Ā₁  А₂)+ +Р(Ā₁)*Р(Ā₂ | Ā₁)* Р(А₃ | Ā₁  Ā₂)                         (13)

     Р(А)=(6/10)*(4/9)*(3/8)+(4/10)*(6/9)*(3/8)+(4/10)*(3/9)*(6/8)=0,3 

Рассмотрим  вариант в) определить вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей по крайней мере, одна качественная.

     Пусть событие А – появление по крайней мере, одной качественной детали,

     событие Ā – появление трех бракованных деталей.

     события Ā₁, Ā₂, Ā₃ – появление бракованной детали при первой, второй, третьей выемках соответственно.

Найдем  вероятность события А через противоположное событие Ā.

Совместное  появление нескольких событий - это  их произведение:

     Ā= Ā₁ * Ā₂* Ā₃     

По теореме  умножения вероятностей зависимых  событий:

     Р(Ā)=Р(Ā₁)*Р(Ā₂ | Ā₁)* Р(Ā₃ | Ā₁ Ā₂)             (14)

     Р(Ā)=(4/10)*(3/9)* (2/8)=0,033

По 2-му следствию из теоремы сложения вероятностей:

     Р(А)=1-Р(Ā )=1-0,033=0,967         

     Ответ: а) вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей все качественные, Р(А)=0,167

б) вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей точно одна качественная, Р(А)= 0,3

в) вероятность того, что среди трех наудачу взятых деталей по крайней мере, одна качественная, Р(А)= 0,967. 

     1.4. Задача 4 

     Дано: 

Первый рабочий изготовил 40 деталей, из которых 4 бракованных. Второй  рабочий изготовил 30 таких же деталей, из которых 2 бракованных. Все изготовленные детали положены в одну тару и доставлены в ОТК. Найти вероятность того, что деталь, взятая наудачу контролером ОТК, соответствует ГОСТу. 

     Решение: 

Пусть событие А – появление детали, соответствующей ГОСТу,

     H₁, H₂ - гипотезы, что деталь изготовлена соответственно 1 и 2 рабочим.

Вероятности этих гипотез соответственно равны:

     P(H₁)=40/70=0,571

     P(H₂)=30/70=0,429

По «классической» формуле вероятности вычислим вероятность  события А при гипотезах H₁, H₂:

     Р(А | Н₁)=36/40=0,9

     Р(А | Н₂)=28/30=0,933

Используя формулу полной вероятности, получим  искомую вероятность⁴:

     Р(А)= P(H₁)* Р(А | Н₁)+ P(H₁)* Р(А | Н₁)               (15)

     Р(А)= 0,571*0,9+0,429*0,933=0,914 

     Ответ: вероятность того, что деталь, взятая наудачу контролером ОТК, соответствует ГОСТу, Р(А)= 0,914. 

     1.5. Задача 5 

     Дано:

Вероятность малому предприятию быть банкротом  равна 0,2. Найти вероятность того, что из восьми малых предприятий сохранятся более двух. 
 

     Решение:

Пусть событие А – сохранение из восьми малых предприятий более двух,

событие Ā – сохранение из восьми малых предприятий не более двух.

Вероятность предприятию быть банкротов равна 0,2. Значит, вероятность предприятию не быть банкротом равна 1-0,2=0,8.

Используем  для решения формулу Бернулли⁵:

     Р_m,n= *p^m*q^n-m               (16)

Найдем  вероятность противоположного события Ā:

     P(Ā)=Р_0,8+Р_1,8+Р_2,8                  (17)

     P(Ā)= *0,8⁰*0,2⁸+ *0,8¹*0,2⁷+ *0,8²*0,2⁶=0,0012

     P(А)=1-0,0012=0,9988 

     Ответ: вероятность того, что из восьми малых предприятий сохранятся более двух, P(А)= 0,9988. 

     1.6. Задача 6 

     Дано:

На факультете насчитывается 1825 студентов. Найти вероятность того, что 1 сентября является днем рождения четырех студентов. 
 

     Решение:

Вероятность того, что 1 сентября является днем рождения студента р=1/365 0,027<0,1 – вероятность постоянна и мала; число испытаний n=1825>100 – велико; λ=n*p=1825*(1/365)=5 10 следовательно, для вычисления вероятности можно воспользоваться формулой Пуассона:

     Р_m,n                      (18)

     Р_m,n 0,175 

     Ответ: вероятность того, что 1 сентября является днем рождения четырех студентов, равна 0,175. 
 

     1.7. Задача 7 

     Дано:

     Дискретная  случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x₁=1, x₂=2, x₃=3, x₄=4, x₅ =5 с вероятностями p₁=0,2; p₂=0,2; p₃=0,2; p₄=0,2; p₅=0,2 соответственно. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения. 
 

     Решение:

     Вычислим  математическое ожидание величины Х:

     

       

     Вычислим  дисперсию величины Х:

     

     D_x=(1-3)²*0,2+(2-3)²*0,2+(3-3)²*0,2+(4-3)²*0,2+(5-3)²*0,2=2

     Вычислим  среднеквадратическое величины Х:

     

     s_x = = 1,414

Ряд распределения  величины Х имеет вид:

 

Построим  функцию распределения величины Х⁶.

                                                                        
  F(x)=0

  F(x)=P(X=1)=0,2

  F(x)=P(X=1)+ P(X=2)=0,2+0,2=0,4

  F(x)=P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)=0,4+0,2=0,6

  F(x)=P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3) + P(X=4)=0,6+0,2=0,8

  F(x)=1

График функции  распределения показан на рисунке  1.

Рисунок 1. График функции распределения  величины Х

 
 

     Ответ: математическое ожидание величины Х равно 3, дисперсия величины Х равна 2, среднеквадратическое величины Х равно 1,414.

        
 
 
 

     1.8. Задача 8 

     Дано:

Для проверки качества поступившей партии зерна  по схеме собственно-случайной бесповторной выборки произведено обследование. В результате анализа установлено следующее распределение данных о влажности зерна:

 

Предполагая, что влажность зерна распределена по нормальному закону, найти выборочное среднее, выборочное среднеквадратичное отклонение, построить гистограмму. Найти доверительный интервал для генеральной средней с надежностью . 
 

     Решение:

     Построим  статистический ряд; т. к. границы первого  и последнего интервалов не указаны, примем их равными второму и предпоследнему интервалам соответственно: