Так как  все эти события совместны, то:

;

;

отсюда  искомая вероятность:

 

Ответ: 0,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  4

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 

Задача 1. На рисунке изображена схема дорог. Найти вероятность того, что турист, вышедший из пункта А, попадет в пункт В, если на развилке он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной). 
 
Решение: Обозначим H_i={приход туриста в пункт H_i}, i=1, 2, 3, 4. Поскольку, выйдя из пункта А, он выбирает любую дорогу наугад, то P(H_i)=1/4, i=1, 2, 3, 4.

 

Исходя из схемы  дорог, определяем, что P(B!H₁) = 0; P(B!H₂) =1/2; P(B!H₃) = 1; P(B!H₄) =1/3. Таким образом, по формуле полной вероятности:

Ответ: 11/24

Задача 2. Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во второй раз вытянут выигрышный билет

Решение: Как обычно, вдоль каждой ветви "дерева вероятностей" значения вероятностей перемножаются, а затем значения на концах нужных веток между собой складываются. В результате получаем ответ:

Ответ: 5/12

Задача 3. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Решение: Пусть событие H1 состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H2 на втором, H3 - на третьем заводе. Очевидно:   

   P(H1) = 3/10,  P(H2) = 5/10,  P(H3) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/Hi означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i-ом заводе. Из условия задачи следует:  

   P (A/H1) = 5/10; P(A/H2) = 3/10; P(A/H3) = 2/10

По формуле  полной вероятности получаем   

  

Ответ: 17/500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ 5

ФОРМУЛА БАЙЕСА

 

Задача 1. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Решение: Пусть событие В₀ состоит в том, что отправлен сигнал “0”, а событие В₁ – в  том, что отправлен сигнал “1”. Пусть событие А₀ состоит в том, что принят сигнал “0”, с событие А₁ – в том, что принят сигнал “1”. Нас интересует Р(В₀/А₁). По условию:

      Р(В₀) = 0,7 Р(В₁) = 0,3

      Р(А₀/ В₀) = 0,8 Р(А₁/ В₀) = 0,2

      Р(А₁/В₀) = 0,8 Р(А₀/ В ₁) = 0,2

По формуле  Байеса получаем:

      Р(В₀/А₁) = 0,2×0,7/(0,2×0,7+0,8×03) = 0,37.

Ответ: 0,37

Задача 2. Имеются пять урн следующего состава: 
2 урны (состава B₁) по 2 белых и 3 черных шара, 
2 урны (состава B₂) по 1 белому и 4 черных шара, 
1 урна (состава B₃ ) — 4 белых и 1 черный шар. 
Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие A). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава?

Решение: Согласно предположению:

P(B₁)=2/5, P(B₂)=2/5, P(B₃)=1/5;

Р_B1(А)=2/5, Р_B2(А)=1/5, Р_B3(А)=4/5.

Согласно  формуле Байеса имеем:

Ответ: 2/5.

Задача 3. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

Решение: Пусть А₁, А₂, А₃  — события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут:

, ,

По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета:

По формуле  Байеса находим исходную вероятность

.

Ответ: 0,19

РАЗДЕЛ 6

ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Задача 1. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий: 
а) только одно отделение получит газеты вовремя; 
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение: Введем события 
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение), 
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),  
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),  
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.  
 
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если  
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,  
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,  
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.  
Таким образом,   
Так как события А1, А2, А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем: 
 
Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие  =(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события: 
 
Тогда вероятность события У:  
 
Ответ: 0,032; 0,316.

Задача 2. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем независимые события:  
А1 = (при аварии сработает первый сигнализатор);  
А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);  
по условию задачи P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.  
Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть   
Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна: 
 
Ответ: 0,14.

Задача 3. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

Решение: Пусть р - вероятность попадания в цель при одном выстреле. Введем событие X = {при четырех выстрелах есть хотя бы одно попадание} и противоположное ему событие   = {при четырех выстрелах нет ни одного попадания}.  
 
Вероятность события   равна  , тогда вероятность события Х равна  . По условию эта вероятность равна 0,9984, откуда получаем уравнение относительно   
 
 
 
р=0,8 
Ответ: 0,8. 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ   7

ЛОКАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 
 

Задача 1.  Вычислительное устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность отказа каждого элемента за смену равна р. Найти вероятность, что за смену откажут m элементов. 
р= 0,024, m=6.

Решение: Используем локальную предельную теорему: 

 
. 
Здесь n=1000, k =6, p=0,024, q= 1-p = 0,976, значения функции берутся из таблицы.

Подставляем:  
 
 
Ответ: 0,000084

Задача 2. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение: По условию, n=400; k=80; р=0,2, q=0,8.

Воспользуемся локальной предельной теоремой: 

.

Вычислим определяемое данными задачи значение x=(k-np)/√npq=(80-400•0.2)/8=0. По таблице находим φ(0)=0.3989. Искомая вероятность P₄₀₀(80)=(1/8)•0.3989=0.04986

Ответ: 0.04986

Задача 3. Найти вероятность того, что событие A наступит равно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность этого события равна 0,2.

Решение: Воспользуемся теоремой Лапласа.

Для нашей задачи получается: 

n=400;  k=80;  p=0.2;  q=1−p=0.8;  p400(80)=C804000.2800.8400−80 (по формуле Бернулли) или, воспользовавшись локальной предельной теоремой:

p400(80)≈1√400·0.2·0.8·φ(80−400·0.2√400·0.2·0.8)=81·φ(0)  По таблице φ(0)=0.3989 , поэтому p400(80)≈81·φ(0)=81·0.3989 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РАЗДЕЛ  8

ИНТЕГРАЛЬНАЯ  ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА  МУАВРА—ЛАПЛАСА

Задача 1. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы с вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Решение: Будем считать, что событие А произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца.

По условию  задачи p=P(A)=0,5, n=100. Нас интересует такое наименьшее число посетителей  m, что вероятность одновременного прихода не менее чем  m  туристов из числа  n=100  с вероятностью успеха p=0,5 приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е.  1 - 0,99 = 0,01.

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число  m, что 

P₁₀₀(m, 100) ≈ 0,01. Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем  случае: m – неизвестно, 

,  ,  .

Тогда:

Используя таблицы для функции  Ф(х), находим,  , и, значит,  . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Ответ: 62 места

Задача 2. В жилом доме имеется n ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между k₁ и k₂. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди n и его соответствующую вероятность. 
n = 6400, k₁ = 3120, k₂ = 3200.

Решение: Используем интегральную теорему Лапласа:

,

, ,

 
где n = 6400, p = 0.5, q = 1-p = 0.5, k₁ =3120, k₂ = 3200, Ф - функция Лапласа (значения берутся из таблиц). Подставляем: 
 
Найдем наивероятнейшее число включенных ламп среди n из неравенства:  
np-q≤k₀≤np+p 
6400*0,5≤k₀≤6400*0,5+0,5 
3199,5≤k₀≤3200,5 
Отсюда k₀=3200. Найдем вероятность по локальной теореме Лапласа:  
P_n(k₀)≈φ 
 
 
Ответ: 0,4772; 3200; 0,0099752..