Расчёт закона управления продольным движением самолёта

Матрицы динамики А:

 

Матрица управления В:

 

Матрица выхода С:

 

 

Матричная передаточная функция  от входа к вектору выхода имеет  вид:

 

 

 

Полюсы передаточной функции: 

P_1,2=-0,782±1,8641j

P_3,4=-25±29.5804j

Нули передаточной функции:

z₁ = 6,089    z₂ = -6,992 z₃ = -0.5352

Значения параметров передаточных функций:

Рисунок 5 - Нули и полюсы передаточной функции

Величина ступенчатого воздействия, обеспечивающая в установившемся режиме n_y.уст=1:    К_v1=-10.1295

2.3 Исследование моделей датчиков угловой скорости и перегрузки

 Для измерения угловых  скоростей на современных самолетах  используются демпфирующие гироскопы.  Передаточная функция демпфирующего  гироскопа:

Значения параметров передаточной функции демпфирующего гироскопа : , с, .

Для измерения нормальной перегрузки используется осевой акселерометр с передаточной функцией:

.

Значения параметров передаточной функции осевого акселерометра: с, , В/ед.

Передаточные функции  датчиков являются колебательными звеньями с дифференциальным уравнением вида:

 Составим структурные  схемы демпфирующего гироскопа  (рис. 5) и осевого акселерометра  (рис.  6).

Рисунок 6 - Структурная схема демпфирующего гироскопа

Рисунок 7 - Структурная схема осевого акселерометра

 

 Из структурной  схемы демпфирующего гироскопа  получаем:

     Из структурной  схемы осевого акселерометра  получаем:

ω_z

U_n

U

n_y

δ

объект

привод

осевой акселерометр

n_y

U_n

U_δ

δ

U

демпфирующий гироскоп

U_ω

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8 - Структурная схема модели «объект + привод + осевой акселерометр + демпфирующий гироскоп»

 

 

 

 

                                                   

Нули передаточной функции:

z₁ =6,089    z₂ = -6,992   z₃ = -0,5352

 

 

 

Полюсы передаточной функции:

_1,2=-0,782±1,8641j

_3,4=-25±29.5804j

 

 

Значения параметров передаточных функций:

 

Рисунок 9 - Нули и полюсы передаточной функции

2.4 Математическая модель датчика положения штурвала

Сигнал с выхода потенциометрического датчика пропорционален отклонению штурвала летчика. Для численных  расчетов полагаем величину коэффициента пропорциональности между перемещением штурвала и выходного напряжения с датчика равным 0,1 В/мм. Максимальные величины отклонения штурвала ±100 мм.

3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ И ПЕРЕХОДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ

   Ниже представлены  характеристики системы с приводом  и без привода. Сплошная линия  на всех рисунках соответствует  объекту без привода, пунктирная  – объекту с привода.

 

Рисунок 10 -  Переходные характеристики системы с приводом и без привода для нормальной перегрузки n_y

Без привода t_p = 4,15 c; σ = 29,2%

C приводом t_p = 4,18 c; σ = 29,4%

Рисунок 11 -  Переходные характеристики системы с приводом и без привода для угловой скорости тангажа ω_z

Без привода σ = 192%

C приводом σ = 192,2%

Рисунок 12 - Логарифмическая частотная характеристика объекта и объекта с приводом для нормальной перегрузки n_y

Рисунок 12 - Логарифмическая частотная характеристика объекта и объекта с приводом для нормальной перегрузки ω_z

Рисунок 13 - Логарифмическая частотная характеристика объекта с приводом и осевым акселерометром

 

Рисунок 14 - Логарифмическая частотная характеристика объекта с приводом и демпфирующим гироскопом

 

Осевой акселерометр и  демпфирующий гироскоп не оказывают  существенного влияния на работу системы, т.к. полюса передаточных функций  обоих датчиков лежат гораздо  левее, чем полюса передаточных функций, как привода, так и объекта. То есть датчики практически не влияют на динамику всей системы и на качество управления.

В большей степени на выходные характеристики влияет рулевой привод. Расхождение между объектом без  привода и объектом с приводом появляется только в области высоких  частот. Пренебрежение высокочастотным  участком не оказывает существенного  влияния на качество переходных процессов.

Так как осевой акселерометр и демпфирующий гироскоп слабо влияют на поведение системы в динамике, то полную систему уравнений можно  упростить, исключив уравнения, описывающие  динамику датчиков.

Время регулирования по n_y и перерегулирование по n_y и w_Z не удовлетворяют заданию, поэтому необходимо спроектировать такую обратную связь, которая обеспечит заданные параметры.

4. РАСЧЁТ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ

Для того чтобы характеристики системы удовлетворяли техническим  требованиям, требуется обеспечить оптимальное управление системой. Для  управления системой будем использовать обратную связь по состоянию, обеспечивающую желаемое расположение собственных  чисел в замкнутой системе.

Имеются векторно-матричные  уравнения исходной системы в  исходном базисе:

,

где матрицы  , , и определены выше.

Составим систему дифференциальных уравнений, описывающую динамику «привод-объект»:

Матрицы динамики А:

 

Матрица управления В:

 

Характеристическое уравнение  системы имеет вид:

Система является полностью  управляемой, т.к. определитель матрицы  управляемости системы не равен 0:

 

В соответствии со структурной  схемой, показанной на рисунке 12, сформируем управление:

 

Рисунок 15 - Структурная схема замкнутой системы.

 

Тогда уравнение состояния  системы примет вид:

,

где   - матрица замкнутой системы в исходном базисе.

Так как система управляемая, то можно перейти к записи системы  в УКП:

Добавив сюда уравнение управления, получим

В УКП матрица  , матрица , матрица .

Матрица - сопровождающая матрица по отношению к характеристическому полиному замкнутой системы:

,

где - желаемые собственные числа замкнутой системы.

Поэтому матрица  имеет стандартный вид .

С другой стороны  , поэтому элементы матрицы можно определить следующим образом:

.

Затем матрицу  необходимо перевести в исходный базис.

Для обеспечения единичной  статики по необходимо определить коэффициент по формуле:

.

Таким образом, для синтеза  управления необходимо задать желаемые полюсы системы, рассчитать обратную связь  и определить динамические характеристики системы. Если эти характеристики не будут удовлетворять техническим  требованиям, то эксперимент можно  повторить.

Желаемые собственные  значения подбираются так, чтобы  элементарные составляющие движений, обусловленные этими собственными значениями успокаивались несколько  быстрее, чем результирующие переходные характеристики. Для этой цели уменьшаем  мнимую и действительную части, для  уменьшения перерегулирования и  времени регулирования соответственно, чтобы значения перерегулирования  и времени регулирования соответствовали  требованиям к динамическим характеристикам, описанным в техническом задании  по разработке алгоритмов ручного управления продольным движением самолета.

 Желаемые полюса подбирались  исходя из того, что при уменьшении  мнимой части уменьшается перерегулирование,  а при увеличении действительной  части уменьшается время регулирования.

Результаты экспериментов  показаны в таблице 2.

 

 

 

 

 

 

Таблица 2 - Зависимость t_ny, σ_ny и σ_ωz от расположения полюсов

Желаемые полюсы	Матрица обратной связи	Динамические характеристики
p1,2=-0,72 ± j·1,86 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [0   0   0   0]	tny = 4,18 с σny = 29 % σωz = 192 %
p1,2=-0,7 ± j·1,5 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [0,1899   0,0290    -0.0033    -0.0289]	tny = 5,1 с σny = 24,6 % σωz = 141 %
p1,2=-1 ± j·1,5 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [0,1719   -0,0627    0,0087    -0,0091]	tny = 3,25 с σny = 13,3 % σωz = 125 %
p1,2=-1,5 ± j·1,5 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [0,0806   -0,2169    0,0287   0,0240]	tny = 2,81 с σny = 4,81 % σωz = 125 %
p1,2=-1,5 ± j·1 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [0,2723    -0,2129    0,0287    0,0231]	tny = 2,22 с σny = 0,971 % σωz = 78 %
p1,2=-2 ± j·1 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [0,1043    -0,3687    0,0487    0,0566]	tny = 2,04 с σny = 0.212% σωz = 100 %
p1,2=-2 ± j·1,5 p3,4=-25 ± j·29,6	L = [-0,0873    -0,3727    0,0487   0,0574]	tny = 1,47 с σny = 1,77 % σωz = 135%

 

Рисунок 16 - Подбор полюсов для получения желаемых собственных значений матриц динамики замкнутой непрерывной системы

 

Оптимальные динамические характеристики системы обеспечиваются, если задать желаемые полюсы равными p_1,2=-2 ± j·1,5; p_3,4=-25 ± j·29,6. В результате выбора желаемых значений удалось достичь все требования для нормальной перегрузке, но перерегулирование по угловой скорости тангажа оказалось на 25% больше требуемой, но так как наиболее важным является достижение требования для нормальной перегрузке, то пренебрегём последним требованием.

Ниже представлены переходные характеристики объекта управления с приводом без учета нелинейностей с управлением с помощью обратной связи по состоянию. Сплошная линия на всех рисунках соответствует объекту без управления с помощью обратной связи по состоянию, пунктирная – объекту с управлением с помощью обратной связи по состоянию.

Рисунок 17 - Переходные характеристики системы с приводом при введении обратной связи для нормальной перегрузки n_y

Без обратной связи  t_p = 4,18 c; σ = 29%

С обратной связью t_p = 1,47 c; σ = 1,77%

Рисунок 18 - Переходные характеристики системы с приводом при введении обратной связи для угловой скорости тангажа ω_z.

Без обратной связи  σ = 192%

С обратной связью  σ = 135%

Из графиков видно, что система  действительно удовлетворяет заданным показателям качества.

Для того, чтобы реализовать обратную связь, необходимо знать вектор состояния в каждый момент времени. Поэтому появляется необходимость ввода в систему наблюдателя, который позволит получить оценку вектора состояния.

5. СИНТЕЗ НАБЛЮДАТЕЛЯ

  Структурная схема, приведенная на рисунке 15, не может быть реализована физически, так как не все координаты вектора состояния могут быть измерены. Следовательно, для обеспечения обратной связи по полному вектору состояния в систему необходимо ввести наблюдатель. Идея наблюдателя полного порядка состоит в том, чтобы в схему объекта ввести дополнительную обратную связь по ошибке оценки вектора , обеспечивающую асимптотическое затухание ошибки оценки вектора состояния .

     Для правильного  функционирования наблюдателя необходимо, чтобы переходные процессы в  наблюдателе затухали значительно  быстрее, чем в объекте управления. Для обеспечения заданных динамических  характеристик выберем собственные  значения матрицы наблюдателя  такими, чтобы на комплексной  плоскости они находились намного  левее полюсов передаточной функции  объекта:

-30,1; -30,2; -30,3; -30,4.

     Векторно-матричные  дифференциальные уравнения исследуемой  системы:

         

В соответствии с рисунком 19 уравнение наблюдателя будет иметь вид:

где  и - оценки переменных состояния и выхода объекта.

 

Рисунок 19 - Структурная схема системы с наблюдателем полного порядка.

или

,        

где К – матрица Калмана,

Ζ = А - КС – матрица динамики наблюдателя.