Система стабилизации самолета по углу тангажа

      Проектируя  силы, действующие на ЛА, на оси координат, получим: 

                        ;              (2.1)

                        .              (2.2) 

      Обозначим через M_z, J_z, и M_zв соответственно суммарный момент аэродинамических сил, действующий относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно той же оси и возмущающий момент. Уравнение моментов относительно поперечной оси имеет вид

                              .                           (2.3) 

      Добавим к этим уравнениям кинематическое уравнение, связывающее углы q, и a

                                     .                           (2.4)

      Из  этих четырех уравнений движения при заданных силах и моментах можно определить величины V, q, и a как функции времени.

      Уравнения (2.1) - (2.4) описывают движение ЛА в  системе координат, связанной с  центром масс аппарата. Для определения  движения ЛА по отношению к системе  координат, связанной с Землей, к  уравнениям (2.1) - (2.4) необходимо добавить кинематические уравнения: 

                              ;                         (2.5)

                              ,                (2.6) 

      где H и L – соответственно высота полета и пройденное расстояние.

      Система дифференциальных уравнений (2.1) – (2.6) является нелинейной математической моделью  продольного движения летательного аппарата.

      Для вывода линеаризованных уравнений  установим зависимость сил и  моментов от величин V, q, , w_z, a, H, d_в и d_д.

      Сила  тяги двигателя P зависит от параметров двигателя и внешних условий, определяемых скоростью полета V, давлением r_н и температурой T_н атмосферы.

      Аэродинамические  силы и моменты принято представлять в виде 

                                              (2.7)

      где - скоростной напор; с_x и с_y – соответственно коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы; m_z – коэффициент момента тангажа; l – длина средней аэродинамической хорды крыла; S – площадь крыльев.

      Для линеаризации уравнений (2.1) – (2.6) предположим, что невозмущенное движение летательного аппарата характеризуется параметрами  V₀, q₀, ₀, a₀ и H₀, удовлетворяющими тем же уравнениям. В качестве невозмущенного движения берем крейсерский полет – горизонтальный полет с постоянной скоростью.

      Пусть в некоторый момент времени вследствие возмущений, действующих на ЛА, имеем: 

                                                                  (2.8) 

      где - малые приращения указанных параметров.

      Из  этих выражений видно, что движение ЛА можно представить состоящим  из невозмущенного движения и малых  отклонений от него.

      Разлагая  силы X, Y, P и момент M_z в ряды Тейлора по малым приращениям и ограничиваясь линейными членами приращений, получим: 
 
 

                                                        (2.9) 
 
 
 

      где члены с верхними индексами обозначают частные производные по соответствующим  переменным в окрестности невозмущенного движения, которое обозначено нижним индексом «0».

      Для частных производных, входящих в  уравнения (2.9), можно с учетом выражений (2.7) написать: 

                                        (2.10)

      здесь - число Маха, где а – скорость звука.

      В целях сокращения записи введем относительные  величины: 

                              ; ,      (2.11) 

      где - аэродинамическая постоянная времени ЛА.

      Вместо  приращений будем писать , придавая последним величинам смысл тех же приращений.

      Уравнения (2.9) с учетом введенных обозначений  можно представить в виде линейной математической модели продольного  движения летательного аппарата: 
 

                          

                                                                        (2.12) 
 
 

      Где .

      Для самолета Ан–148 совершающего крейсерский  полет на высоте 4 километров при  М = 0,65 и t_а = 2,9 сек значения коэффициентов следующие: 

                n₁₁=0,019; n₁₂=0,02; n₁₃=0,3; n₁₄= - 0,00044;

                n₂₁=-0,6; n₂₂=2,66; n₂₃=0; n₂₄=-0,013;

                n₃₁=0; n₀=0,6; n₃₂=10,6; n₃₃=1,7; n₃₄=-0,055;

                n_в=24,5; n_д=0,021.

                n₄₁=sin q₀; n₄₂=cos q₀;

                ; ;

                  

      При полете с незначительным изменением высоты членами n₁₄h, n₂₄h и n₃₄h в уравнениях (2.12) можно пренебречь. В этом случае получаем систему уравнений: 
 
 

                                                                 (2.13) 
 
 

      Первые  три уравнения системы (2.13) могут  быть исследованы независимо от последнего уравнения. Предполагая, что ручка  управления двигателей и руль высоты зажаты (d_д=d_в=0), а внешние возмущения отсутствуют (f₁=f₂=f₃=0), получим систему, описывающую собственные движения ЛА.

      Характеристическое  уравнение этой системы имеет  четыре корня. Пара больших корней соответствует  короткопериодическому движению, а  пара малых корней характеризует  длиннопериодическое движение.

      Для рассмотрения короткопериодического  движения положим v=0, тогда из системы (2.13) получим 
 
 

                                                                (2.14) 
 

      В горизонтальном полете эта система  сводится к уравнениям: 

                   .           

                                                               (2.15) 

      Из  уравнений (2.15) путем преобразования Лапласа при нулевых начальных  условиях получим передаточные функции: 

                   ;

                   ,    (2.16) 

      где .

      Уравнения длиннопериодического движения получим  из системы (2.13), учитывая равновесие моментов относительно поперечной оси: 
 

                                           (2.17)

                   .

      Особенности этого движения определяются свойствами характеристического уравнения  системы (2.17).

     Исходя  из этого передаточная функция объекта  управления будет иметь вид:

       .        

                    (2.18)

     2.3.Исследование  объекта управления

     Качественный  анализ свойств объекта управления будет проведен во временной и  частотной областях. Для этого в интегрированной среде Matlab Simulink будет собрана схема моделирования объекта управления и получены соответствующие характеристики. Переходная характеристика представлена на рис. 2.3.1, годограф показан на рис. 2.3.2. По полученным характеристикам будут определены показатели качества.

      

Рисунок 2.3.1 – Переходный процесс по задающему  воздействию ОУ 

      

Рисунок 2.3.2 – Годограф объекта управления

    Так как годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;j0), следовательно, исходя из критерия устойчивости Найквиста, можно сделать предположение, что объект  устойчив.

Выводы.

     В результате анализа функциональных свойств объекта управления было выявлено, что данный самолет является устойчивым, время переходного процесса и запасы устойчивости удовлетворяют  требованиям ТЗ, однако значение перегулирования (300%) не удовлетворяет условиям технического задания. Таким образом, необходимо сформировать систему управления, которая бы обеспечивала заданную точность, перерегулирование, время переходного процесса и запасы устойчивости. Таким образом, возникла необходимость формирования системы автоматического управления.

    2.4.  Формирование функциональной схемы системы

     Целесообразность  контуров автоматической стабилизации углового положения для самолетов  обусловлена рядом причин. Эти  контуры, реализуя обратные связи по угловому положению летательного аппарата, позволяют лучше организовать управление траекторией. Разработка систем стабилизации угла тангажа и управления актуальна в связи с облегчением управления полетом самолета для летчика. Целесообразность контуров автоматической стабилизации углового положения для самолетов обусловлена рядом причин. Эти контуры, реализуя обратные связи по угловому положению летательного аппарата, позволяют лучше организовать управление траекторией (являются корректирующими цепями для траекторных контуров). Стабилизация тангажа позволяет резко увеличить дискретность тракторного управления. Для ручного управления траекторией это проявляется в том, что при включенном автопилоте летчику достаточно лишь время от времени вмешиваться в управление, внося поправки в заданные значения тангажа и устраняя тем самым накапливающиеся ошибки выполнения траектории.

     При управлении углом тангажа происходит два движения: поворот продольной оси самолета вокруг поперечной оси и поворот вектора скорости центра масс в вертикальной плоскости. Поворот самолета вокруг поперечной оси осуществляется под действием продольных моментов, создаваемых рулем высоты, а поворот вектора скорости – под действием нормальных сил.

     Основные  требования к контуру углового управления самолета состоят в обеспечении  заданных запасов устойчивости и  соответствующего качества при переходных режимах. Основные требования к контуру  траекторного управления состоят в  обеспечении соответствующей точности выдерживания заданной траектории.

     При отклонении руля высоты на угол δ_В=k_δ(υ–υ_З) создаётся продольный момент, пропорциональный рассогласованию υ–υ_З, под действием которого продольная ось самолёта будет поворачиваться в сторону уменьшения величины υ–υ_З. При повороте продольной оси самолёта вектор скорости вначале не меняет своего направления, поэтому получает приращение угол атаки α. Возникающий при этом момент собственной устойчивости, совпадающий по знаку с моментом руля, стремится возвратить продольную ось самолёта к положению υ=υ_З. При движении самолёта под действием моментов руля и собственной устойчивости возникает демпфирующий момент, пропорциональный угловой скорости и направленный против движущих моментов. Поскольку демпфирующий момент мал, то под действием движущих моментов ось самолёта перейдет через положение равновесия υ=υ_З и процесс регулирования будет колебательным.