Исследование сетей массового обслуживания

2.4 Размеченный  граф переходов Марковского процесса: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

, и интенсивности обслуживания заявок в узлах 1, 2 и 3 соответственно.

 

      

      2.5 Матрица интенсивностей переходов  Марковского процесса: 
 
 

 
 

      Система уравнений для определения стационарных вероятностей: 

 

2.6 Значения  стационарных вероятностей состояний: 

p₀ = 0.1318

p₁ = 0.0565

p₂ = 0.0424

p₃ = 0.1976

p₄ = 0.1906

p₅ = 0.3812 

 

      2.7 Расчет характеристик системы  (результаты численного моделирования): 

     Узловые характеристики: 

1. Загрузка  узлов:

 

      

      

        

2. Среднее число  заявок в очередях перед узлами:

 

 

 

3. Среднее число заявок в узлах СеМО:

 

      

      

        
 

4. Среднее время  ожидания заявок в узлах СеМО:

 

, , , где 

, и - коэффициент передачи соответственно узла 1, узла 2 и узла 3;

- производительность замкнутой  СеМО, рассчитываемая как сетевая характеристика; 

5. Среднее время  пребывания заявок в узлах СеМО:

 

, ,  

6. Производительность  узла СеМО:

 

, ,  
 

      Сетевые характеристики: 

1. Среднее число  одновременно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО:

 

       

2. Суммарное число  заявок, циркулирующих в СеМО:

 

       

3. Суммарное число  заявок во всех очередях СеМО:

 

       

4. Суммарное (полное) время ожидания заявок в очередях СеМО:

 

       
 

5. Время пребывания заявок в СеМО:

 

       

6. Производительность  замкнутой СеМО:

 

       
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      2.8 Неэкспоненциальная ЗСеМО: 

      Заменим первый узел с длительностью обслуживания, распределённой по закону Эрланга 2-порядка, двумя последовательно работающими псевдо узлами с интенсивностями обслуживания 2µ₁ каждый, длительности обслуживания в которых распределены по экспоненциальному закону: 
 
 
 
 
 
 
 
 

µ₁=4 
 

Перечень  состояний Марковского процесса ЗСеМО (Эрланг - второго порядка для первого узла) 

      M₁ = {0, 1’, 1”, 2’, 2”}

      M₂ = {0, 1, 2}

      M₃ = {0, 1, 2} 

      Е₀ = (2', 0, 0) – 2 заявки в узле 1 (1 на обслуживании в псевдо узле 1, 1 в накопителе);

      Е₁ = (2", 0, 0) – 2 заявки в узле 1 (1 на обслуживании в псевдо узле 2, 1 в накопителе);

      Е₂ = (1', 1, 0) – 1 заявка в узле на обслуживании в псевдо узле 1, 1 заявка в узле 2 на обслуживании;

      Е₃ = (1", 1, 0) – 1 заявка в узле на обслуживании в псевдо узле 2, 1 заявка в узле 2 на обслуживании;

      Е₄ = (0, 2, 0) – 2 заявки в узле 2(1 на обслуживании в приборе, 1 в накопителе);

      Е₅ = (0, 1, 1) – 1 заявки в узле 2 на обслуживании, 1 заявка в узле 3 на обслуживании;

      Е₆ = (0, 0, 2) –2 заявки в узле 3(1 на обслуживании в приборе, 1 в накопителе);

      Е₇ = (1", 0, 1) – 1 заявка в узле 1 на обслуживании в псевдо узле 2, 1 заявки в узле 3;

      Е₈ = (1', 0, 1) – 1 заявка в узле на обслуживании в псевдо узле 1, 1 заявка в узле 3 на обслуживании. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Размеченный граф переходов Марковского процесса ЗСеМО

(Эрланга второго порядка для первого узла)

       

 

Матрица интенсивностей переходов Марковского процесса 

      Система уравнений для определения стационарных вероятностей: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

      

Значения  стационарных вероятностей состояний

(Эрланг - второго порядка для первого узла) 

p₀ = 0.0563

p₁ = 0.1408

p₂ = 0.0704

p₃ = 0.0563

p₄ = 0.0845

p₅ = 0.0845

p₆ = 0.0845

p₇ = 0.1972

p₈ = 0.2254 

 

Расчет  характеристик системы

(Эрланг – второго порядка для первого узла) 
 

     Узловые характеристики: 

1. Загрузка  узлов:

 

      

      

        

2. Среднее число  заявок в очередях перед узлами:

 

        

      

        

3. Среднее число заявок в узлах СеМО:

 

      

      

        

4. Среднее время  ожидания заявок в узлах СеМО:

 

 

5. Среднее время  пребывания заявок в узлах СеМО:

 

, ,  

6. Производительность узла СеМО:

 

, ,  
 

      Сетевые характеристики: 

1. Среднее число  одновременно работающих узлов сети, определяемое как суммарная загрузка всех узлов СеМО:

 

       

2. Суммарное число заявок, циркулирующих в СеМО:

 

        

3. Суммарное число  заявок во всех очередях СеМО:

 

        

4. Суммарное (полное) время ожидания заявок в очередях СеМО:

 

        

5. Время пребывания заявок в СеМО:

 

        

6. Производительность  замкнутой СеМО:

       

 

     В сравнении с аналитическим методом  численный отличается тем, что здесь  происходит замена сложных математических формул и отношений более простыми, и, следовательно, существует определенная погрешность.