Теория автоматического управления

-  применительно к  термопаре, осуществляет температурную  компенсацию холодного спая термопары.

Для  расчетных  целей  исходную  схему  упрощают  до  схемы,  показанной  на рисунке  7,  где  АР  -  регулятор,  ОУ  -  объект  управления.  Здесь  под  объектом управления уже понимается неизменяемая часть системы, состоящая из преобразователей  сигналов,  исполнительного механизма,  регулирующего  органа,  собственно объекта управления и датчика.

                      

                  Рисунок  7  -  Расчетная схема САР промышленным объектом управления.

Основные требования к промышленным системам регулирования:

-  Промышленная  САР   должна  обеспечивать  устойчивое  управление

процессом во всем диапазоне  нагрузок на технологический агрегат;

-  Система должна  обеспечивать  в  окрестности  рабочей  точки  заданное  качество  процессов  управления  (время  переходного  процесса,

перерегулирование и  колебательность);

-  Система должна  обеспечивать в установившемся  режиме заданную 

точность регулирования. Желательно обеспечить нулевую статиче-

скую  ошибку  регулирования.  Кроме  этого  желательно  обеспечить

заданную дисперсию  ошибки регулирования.

Все эти условия будут выполнятся, если объект управления является стационарным, либо его вариации параметров достаточно малы и компенсируются запасами устойчивости системы.

 

 

 

 

 

 

 

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой  динамических свойств САР. Способность системы восстанавливать состояние равновесия, из которого она была выведена в результате какого-либо воздействия, называется устойчивостью.  В  зависимости  от  характера  переходного  процесса  различают

три основных случая поведения  или изменения заданного значения регулируемой величины:

-  если  с  течением  времени  после  окончания   переходного  процесса система приходит в первоначальное или другое установившееся состояние, то такой переходный процесс будет сходящимся, а система – устойчивой;

-  если при тех  же условиях система характеризуется  установившимся периодическим движением,  то такой переходный процесс  называется незатухающим, колебательным, а система находится на границе устойчивости;

-  если система не  может восстановить равновесного состояния, а значение регулируемой величины всё более отклоняется от заданного, то такой процесс называется расходящимся, а система – неустойчивой.

С целью упрощения  анализа устойчивости систем разработано  ряд специальных методов, которые  получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости  делятся на  две разновидности:  алгебраические  и частотные.  Алгебраические  критерии  являются  аналитическими,  а частотные  -  графо-аналитическими.  Критерии  устойчивости  позволяют  также  оценить  влияние параметров системы на устойчивость.

Следует обратить внимание на важные преимущества критерия устойчивости Найквиста по сравнению с критериями Рауса – Гурвица и Михайлова:

  1 При использовании этого критерия нет необходимости в знании характеристического уравнения замкнутой системы – вся необходимая информация может быть получена экспериментально.

  2 Критерий применим для систем с распределенными параметрами и

транспортным запаздыванием, передаточные функции которых трансцендентны.

Теорема (критерий Найквиста). Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой системы W(iω)  при изменении ω от 0 до ∞ охватывал l/2 раз в положительном направлении точку (-1, i0), где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Из этой теоремы непосредственно  вытекает

Следствие. Если разомкнутая  система устойчива (l=0), то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф  W(iω)  при изменении ω от 0 до ∞ не охватывал точку (-1, i0).

Заметим, что для применении частотного критерия устойчивости Найквиста  необходимо  знать,  устойчива  или  неустойчива  система  в  разомкнутом  состоянии.

При этом, если система  в разомкнутом состоянии неустойчива, то следует определить количество корней её характеристического уравнения, имеющих положительные вещественные части. Только в этом случае можно применить частотный критерий устойчивости Найквиста к исследованию устойчивости замкнутой системы.

 

            6.1  Синтез разомкнутой САР с ПИ – регулятором

Исходя из вышеизложенного, для определения устойчивости по критерию Найквиста необходимо построить амплитудно – фазочастотную характеристику разомкнутой системы автоматического регулирования уровня.

В общем виде передаточную функцию разомкнутой САР с регулятором можно найти по формуле:

                            .                    (8)

Тогда передаточная функция  разомкнутой системы с ПИ- регулятором  примет вид:

                                 .                               (9)

 

           6.2  Синтез разомкнутой САР с ПИД – регулятором

Передаточная функция  разомкнутой системы с ПИД  – регулятором записывается по алгоритму, описанному выше. 

Тогда для получения  передаточной функции разомкнутой САР с ПИД- регулятором воспользуемся формулой 8:         

                               .                           (10)

 

 

           6.3  Оценка устойчивости САР

6.3.1  Запас  устойчивости по амплитуде и по фазе системы   с             ПИ- регулятором

По критерию Найквиста  проанализируем, является ли устойчивой САР. Для этого в Маткаде построим АФЧХ разомкнутой системы. Полученные графики позволят также определить запасы устойчивости системы по фазе и по амплитуде. 

Построим  АФЧХ  разомкнутой  системы  с  ПИ-  регулятором   в Маткаде, показано на рисунке 8. 

 

                      

 

 

 

 

 

         

 

 

 

 

                 Рисунок  8- АФЧХ разомкнутой системы с ПИ – регулятором

 По АФЧХ разомкнутой системы с ПИ – регулятором можно сделать вывод, что  замкнутая  система  с    ПИ-  регулятором  является  устойчивой  по  критерию Найквиста.

 

 

6.3.2  Запас  устойчивости по амплитуде и фазе системы с ПИД регулятором

 

Построим АФЧХ разомкнутой  системы с ПИД – регулятором, показано на рисунке 9.

                             

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

 

 

                            

 

               Рисунок 9 – АФЧХ разомкнутой системы с ПИД –регулятором

Из рисунка 9 видно, что, по критерию Найквиста замкнутая система с ПИД- регулятором является устойчивой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Различают 4 группы критериев  качества регулирования:

-  Критерии точности - используют величину ошибки  в различных типовых режимах. 

-  Критерии  величины  запаса  устойчивости  -  оценивают  удаленность САР от границы устойчивости. 

-  Критерии быстродействия - оценивают быстроту реагирования  САР на появление задающего  и возмущающего воздействий. 

-  Интегральные критерии - оценивают обобщенные свойства  САР: точность, запас устойчивости, быстродействие. 

Существует два основных подхода к оценке качества:

1.  Первый  использует  информацию  о  временных   параметрах  системы: h(t), w(t); расположение полюсов и нулей ПФ замкнутой системы Φ(p). 

2.  Второй  использует  информацию  о  некоторых частотных свойствах системы: полоса пропускания; относительная высота резонансного пика; и т.д.

 

 

           Рисунок 10 – переходная функция  Рисунок 11 – весовая функция        

           Рассмотрим прямые оценки качества переходных процессов, показанные на рис. 10 и 11

1  Установившееся  значение  выхода,  определяющее  статическую точность системы:      

                                                                             (11)                                                             

2  tp – время переходного процесса,  определяющее  быстродействие  системы.

Оно определяется из соотношения:

                                                                                                           (12)                                                                                        

           где ∆ - заданная малая величина, характеризующая точность системы.

3 – перерегулирование  –  максимальное  отклонение  от  установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах              

                                                                                                                                         (13)

Обычно требования по перерегулированию составляют , иногда к качеству процессов может быть предъявлено требование , на пример в системах позиционирования манипуляторов промышленных роботов.       

4 – частота колебаний

                                                                                             (14)

            где  Т– период колебаний для колебательных процессов

        5 N – это число полных колебаний, которое имеет h(t) или e(t) за время      регулирования tp. Этот параметр определяется как число выбросов, для которых

                                                                                                                                           (15)

               Обычные  требования  по  числу   колебаний   ,  в некоторых    системах N=0 накладывают ограничение на колебательность , на пример, в системах с существенным люфтом в механических передачах.

6  tm– время достижения первого максимума.

7  tн– время нарастания переходного процесса, время от начала переходного процесса до момента первого пересечения графиком линии установившегося значения.

8 к – декремент затухания, равный отношению модулей двух смежных перерегулирований

 

 

7.1  Построение  переходной функции замкнутой  САР  с ПИ-

       регулятором по ее передаточной функции

 

Для построения в MathCad переходной функции объекта управления с  целью определения показателей  качества необходимо записать передаточную функцию замкнутой САР. В общем  виде эта функция будет  выглядеть  следующим образом:      

                                                 .                              (17)

При нахождении переходной функции замкнутой системы в MathCad следует учитывать, что в знаменателе  передаточной функции  требует разложения в ряд Тейлора. Формула имеет  вид:

                                                                            .                                                      (18)

Передаточная функция  замкнутой САР уровня с ПИ- регулятором:  

                                              _.

Текст программы в MathCad:

 

 

 

 

 

 

График  переходной  функции  замкнутой  АСР  уровня  с  ПИ-  регулятором  показан на рисунке 12.

      

h(t) – уровень, м; t –  время, сек.

         Рисунок 12 – Переходная функция замкнутой системы автоматического регулирования  уровня с ПИ – регулятором 

 

 

 

 7.2 Расчет показателей  качества замкнутой САР с ПИ регулятором

Найдем максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах по формуле:

                                                                                       .

            где hmax- максимальное отклонение, %; hуст- установившееся значение,%

 

                                                                                         .

 

 

 

 

 

 

 7.3 Построение переходной функции замкнутой САР  с          ПИД регулятором по ее передаточной функции

 

По аналогии построим  переходную функцию замкнутой системы автоматического регулирования с ПИД- регулятором

 

.                           

 

Построим график переходной функции в программе MathCad:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На  рисунке  12  представлена  переходная  функция  замкнутой  САР  с  ПИД-регулятором.   

                 

h(t) – уровень, м; t –  время, сек.

          Рисунок 12 – Переходная функция замкнутой системы автоматического регулирования  уровня с ПИД – регулятором

 

 

 

       7.4 Расчет показателей  качества замкнутой САР  с ПИД    регулятором

Найдем максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах по формуле:

                                                                                       .