Анализ риска с помощью функции полезности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Стерлитамакская государственная педагогическая академия имени З. Биишевой 

 Институт  математики и естественных наук

Кафедра математического моделирования 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Лабораторная  работа №2 

Вариант 8 

«Анализ риска с помощью функции полезности» 
 
 
 
 
 
 
 
 

                        Выполнила:    Салихова Фиана Альбертовна

                               Группа ПМ-51                                        Проверил:        к.ф.-м.н., доцент каф. математического              

          моделирования  Беляева М.Б.  
 
 
 
 
 

Стерлитамак, 2011 год

Задача1. В городе N решено открыть яхт-клуб (под громким названием скрывается скромная лодочная станция). Предполагаемое число членов клуба колеблется от 100 до 250 чел. Годовой абонемент стоит 1000 руб. Аренда причала, помещений для хранения яхт и стимулирование ускоренного получения лицензии обойдутся в 20 тыс. руб. Владельцу абонемента, не получившему яхты, выплачивается неустойка в двойном размере. Сколько же прогулочных яхт следует заказать, если каждая из них стоит 15 тыс. руб. и обычно ежедневно приходит каждый десятый любитель пребывания на воде (прочими затратами пренебречь)? 

Задача2. Пусть функция полезности Неймана-Моргенштейна для бизнесмена А имеет вид U=10-2M, где М - денежный выигрыш (тыс. долларов). Он имеет возможность вложить 25 тыс.долларов в строительство бара и гриля. С вероятностью 0,5 он потеряет весь свой капитал и с той же вероятностью выиграет 32 тыс. долларов.

Требуется определить:

  • Следует ли осуществлять инвестирование проекта?

  • Если будет сделано  инвестирование, то какова ожидаемая  полезность этого мероприятия?

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение задачи 1.

Рассмотрим  количество приобретаемых яхт в  диапазоне от двух до пяти (4 варианта) и количество потенциальных яхтсменов  от 100 до 250. 

х = { xi} = ( 2, 3, 4, 5) – количество яхт ( i = 1,2,3,4);

S = { Sj} =( 100, 150, 200, 250) – количество членов яхт-клуба ( j = 1,2,3,4).  

Для того, чтобы  начать поиск решения, построим матрицу  полезности, элементы которой показывают прибыль при принятии i -го решения  при j –ом количестве членов яхт-клуба:  
 

 

Т.к. все величины в таблице имеют положительные  значения, то при этих соотношениях спроса на яхты и их наличия яхт-клуб убытки  не несет. 

Принятие  решения в ситуации неопределенности.

1. Критерий Вальда (выбор осторожной, пессимистической стратегии) - для каждой альтернативы (количество яхт в клубе) выбирается самая худшая ситуация (наименьшее значение величины прибыли) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект:  

 

Вывод: принимая решение по критерию Вальда, яхт-клубу  следует закупить 2 яхты и максимум ожидаемого убытка не превысит 49985 рублей. 

2. Критерий Лапласа (критерий безразличия ) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
---
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Решение задачи2. 

 

Пусть х – денежный выигрыш, который с вероятностью 0,5 получит бизнесмен (х=32), либо с той же вероятностью их потеряет (х=25). Тогда детерминированная величина будет равна: 

Подсчитаем  функцию полезности Неймана-Моргенштейна при заданных значениях х: 
 
 

Тогда случайная величина будет равна: 
 

Оптимальная полезность равна: 
 

Премия  за риск равна: 
 

Получаем, что бизнесмен нейтрален к  риску, т.к. случайная и детерминированная  величины полезности с одинаковыми  М(х) для него одинаковы: 

Можно сделать вывод, что инвестировать  не стоит.

Если  же  будет инвестирование, то ее ожидаемая  полезность будет равна 3, при получении гарантированного выигрыша 3,5.