Контрольная работа по "Финансовой математике"

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1…………………………………………………………………….............3

Задача 2…………………………………………………………………………...13

Задача 3.…………………………………………………………………………..19

Список литературы………………………………………………………………22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 1.

Приведены поквартальные  данные о кредитах от коммерческого  банка на жилищное строительство (в  условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому  кварталу первого года).

Требуется:

1. Построить  адаптивную мультипликативную модель  Хольта-Уинтерса с учетом сезонного  фактора, приняв параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3.

2. Оценить  точность построенной модели  с использованием средней относительной  ошибки аппроксимации.

3. Оценить  адекватность построенной модели  на основе исследования:

- случайности  остаточной компоненты по критерию  пиков;

- независимости  уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;

-  нормальности  распределения остаточной компоненты  по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить  точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить  на графике фактические, расчетные  и прогнозные данные.

Решение.

Исходные  данные:

Таблица 1

Цена акции  за 16 кварталов (4 года)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	35	42	52	34	37	48	59	36
t	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	41	52	62	38	46	56	67	41

 

Будем считать, что зависимость  между компонентами тренд-сезонного  временного ряда мультипликативная. Мультипликативная  модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

 

Y_p(t+k)   =   [ a(t) + k*b(t) ] * F(t+k-L)                                                (1)

где  k – период упреждения,

    Y_p(t)- расчетное значение экономического показателя для t-го периода;

    a(t) , b(t) и  F(t) коэффициенты модели, они адаптируются, уточняются   по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;

   F(t+k-L) – значение коэффициента сезонности того периода, для         которого рассчитывается экономический показатель. L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных  L=12). Таким образом, если по формуле 3.1 рассчитывается значение экономического показателя, например, за второй квартал, то F(t+k-L)  как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.

Уточнение (адаптация к  новому значению параметра  времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

         a(t) =a1* Y(t)/F(t-L) + (1 - a1) * [ a(t-1)+b(t-1) ]                      (2)

        b(t) =a3* [ a(t) – a(t-1) ]  +  (1 - a3) * b(t-1)                              (3)

        F(t)=a2*Y(t)/a(t)+(1-a2)*F(t-L)                                                  (4)

Параметры сглаживания a1 , a2  и  a3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (то есть чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).

Из формул 1 –4 видно, что для расчета a(1)  и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (то есть для t=1-1=0). Значения a(0)  и b(0)  имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.

Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:

Y_p(t) = a(0) + b(0) * t.

Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения a(0) и  b(0) по следующим формулам:

                                                       

 

a(0) = Y_cp - b(0)*t                                                   

 

 

 

Применяя  линейную модель к первым 8 значениям  ряда  из таблицы 1 (то есть к данным за  первые 2 года), находим значения  a(0)=39,21, b(0)=0,87

С учетом полученных коэффициентов линейное уравнение имеет вид: Y_p(t) = 39,21 + 0.87 * t. Из этого уравнения находим расчетные  значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (таблица 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения  коэффициентов  сезонности 1–4 кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в таблице 1.  Эти значения  необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4)   и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

 

Таблица 3

Сопоставление фактических  данных Y(t) и рассчитанных по линейной  модели значений Y_p(t)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	35	44	52	34	37	48	59	36
Yp(t)	40,08	40,95	41,82	42,69	43,56	44,43	45,3	46,17

 

Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к  рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности первого квартала  F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) первого квартала первого года, равное Y(1)/Y_p(1)   и такое же отношение для первого квартала второго года (то есть за пятый квартал t=5) Y(5)/Y_p(5). Для окончательной, более точной оценки этого коэффициента  сезонности можно использовать среднее арифметическое  значение  этих двух величин

F(-3)=[Y(1)/Y_p(1)+Y(5)/Y_p(5)]/2=[35/40,08+37/43,56]/2= =[0,8733+0,8494]/2=0,8614

Аналогично  находим  оценки коэффициенты сезонности для второго, третьего и четвертого кварталов:

F(-2) =  [ Y(2)/Y_p(2)  + Y(6)/Y_p(6) ] / 2 = 1,0774

F(-1) =  [ Y(3)/Y_p(3)  + Y(7)/Y_p(7) ] / 2 = 1,2729

F(0)  =  [ Y(4)/Y_p(4)  + Y(8)/Y_p(8) ] / 2 =  0,7881

Oценив значения  a(0), b(0), а также F(-3), F(-3), F(-3) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул (1-4).

Путем перебора возможных значений параметров сглаживания, было установлено, что лучшими являются a1 = 0,3; a2 = 0,6; a3 = 0,3.

Рассчитаем  значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t)  для t=1.

Из уравнения 1, полагая  t=0, k=1,  находим Y_p(1): Y_p(0+1)=Y_p(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4)=[a(0)+1*b(0)]*F(-3) =[ 39,21+ 1* 0,87 ] * 0,8614 = 34,48

Из уравнений 2-4, полагая  t=1,  находим:

a(1)=a1*Y(1)/F(-3)+(1-a1)*[a(0)+b(0)]=0.3*35/0,8614+(1-0.3)*[39,22+0,87 ]=40,27

b(1)=a3*[a(1)–a(0)]+(1-a3)*b(0)=0.3*[40,27-39,22]+(1-0.3)*0,87=0,92

F(1)=a2*Y(1)/a(1)+(1-a2)*F(-3)=0.6* 35/40,27+(1-0.6)* 0,86=0,87

 

 

Аналогично  рассчитаем значения Y_p(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2

Yp(2)=[ a(1) + 1 * b(1) ]*Fo(-2)=[ 40,27+1*0,92 ] * 1,08 =44,49

a(2)=a1*Y(2)/F(-2)+(1-a1)*[a(1)+b(1)]=0.3*44/1,08+0.7*[40,27+0,92]=41,06 b(2)=a3*[a(2)–a(1)]+(1-a3)*b(1)=0.3*[ 41,06-40,27]+0.7* 0,92=0,88

F(2)=a2*Y(2)/a(2)+(1-a2)*Fo(-2)=0.6* 44/41,06+0.4* 1,08=1,07

для    t=3

Yp(3)=[ a(2)+1 * b(2)]*Fo(-1)=[41,06+1*0,88 ]*1,27=53,26

a(3)=a1*Y(3)/F(-1)+(1-a1)*[a(2)+b(2)]=0.3*52/1,27+0.7*[41,06+0,88]=41,64

b(3)=a3*[a(3)–a(2)]+(1-a3)*b(2)=0.3*[ 41,64-41,06]+0.7* 0,88=0,79

F(3)=a2*Y(3)/a(3)+(1-a2)*F(-1)=0.6*52/41,64+(1-0.6)*1,27=1,26

для    t=4

Yp(4)=[ a(3)+1*b(3)]*F(0)=[41,64+1*0,79 ]*0,79=33,52

a(4)=a1*Y(4)/F(0)+(1-a1)*[a(3)+b(3)]=0.3*34/0,79+0.7*[41,64+0,79]=42,61

b(4)=a3*[a(4)–a(3)]+(1-a3)*b(3)=0.3*[42,61-41,64]+0.7* 0,79=0,84

F(4)=a2*Y(4)/a(4)+(1-a2)*F(0)=0.6* 34/42,61+0.4*0,79=0,79

для    t=5

Yp(5)=[a(4)+1*b(4)]*F(1)=[42,61+ 1*0,84]*0.87=37.80

a(5)=a1*Y(5)/F(1)+(1-a1)*[a(4)+b(4)]=0.3*37/0.87+0.7*[42.61+0.84]=43.17

b(5)=a3*[a(5)–a(4)]+(1-a3)*b(4)=0.3*[ 43.17-42.61]+0.7* 0.84=0.76

F(5)=a2*Y(5)/a(5)+(1-a2)*F(1)=0.6*37/43,17+(1-0.6)*0,87=0,86

для    t=6

Yp(6)=[a(5)+1*b(5)]*F(2)=[43.17+ 1*0.76]*1.07=47,01

a(6)=a1*Y(6)/F(2)+(1-a1)*[a(5)+b(5)]=0.3*48/1.07+0.7*[43.17+0.76]=44,21

b(6)=a3*[a(6)–a(5)]+(1-a3)*b(5)=0.3*[ 44.21-43.17]+0.7* 0.76=0,84

F(6)=a2*Y(6)/a(6)+(1-a2)*F(2)=0.6*48/44.21+(1-0.6)*1.07=1.08

для    t=7

Yp(7)=[a(6)+1*b(6)]*F(3)=[44.21+ 1*0.84]*1.26=56,76

a(7)=a1*Y(7)/F(3)+(1-a1)*[a(6)+b(6)]=0.3*59/1.26+0.7*[44.21+0.84]=45.58

b(7)=a3*[a(7)–a(6)]+(1-a3)*b(6)=0.3*[ 45.58-44.21]+0.7* 0.84=0.99

F(7)=a2*Y(7)/a(7)+(1-a2)*F(3)=0.6*59/45.58+(1-0.6)*1.26=1.28

для    t=8

Yp(8)=[a(7)+1*b(7)]*F(4)=[45.58+ 1*0.99]*0.79=36,79

a(8)=a1*Y(8)/F(4)+(1-a1)*[a(7)+b(7)]=0.3*36/0.79+0.7*[45.58+0.99]=46,27

b(8)=a3*[a(8)–a(7)]+(1-a3)*b(7)=0.3*[ 46,27-45.58]+0.7* 0.99=0.89

F(8)=a2*Y(8)/a(8)+(1-a2)*F(4)=0.6*36/46,27+(1-0.6)*0,79=0.78

Таблица 4

Модель Хольта-Уинтерса

 

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	Абсол.  погр. E(t)	Относит.  погр., %
-3
-2
-1
0		39,21	0,87
1	35	40,27	0,92	0,87	34,48	0,52	0,015
2	44	41,06	0,88	1,07	44,49	-0,49	0,011
3	52	41,64	0,79	1,26	53,26	-1,26	0,024
4	34	42,61	0,84	0,79	33,52	0,48	0,014
5	37	43,17	0,76	0,86	37,8	-0,8	0,022
6	48	44,21	0,84	1,08	47,01	0,99	0,021
7	59	45,58	0,99	1,28	56,76	2,24	0,038
8	36	46,27	0,89	0,78	36,79	-0,79	0,022
9	41	47,31	0,94	0,86	40,56	0,44	0,011
10	52	48,22	0,93	1,08	52,11	-0,11	0,002
11	62	48,94	0,87	1,27	62,91	-0,91	0,015
12	38	49,48	0,77	0,77	38,85	-0,85	0,022
13	46	51,22	1,06	0,88	43,22	2,78	0,060
14	56	52,15	1,02	1,08	56,46	-0,46	0,008
15	67	53,05	0,98	1,27	67,53	-0,53	0,008
16	41	53,79	0,91	0,77	41,6	-0,6	0,015

 

Для того, чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Y_p(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватнсти). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 4.

Будем считать, что условие  точности выполнено, если относительная  погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)} поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%*abs{E(t)}/Y(t) ) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. «Относит. погр., %» табл. 4) составляет 0,31, что дает среднюю величину 0,31/16 = 0,02%.

Следовательно, условие точности выполнено.

Для того, чтобы  проверить случайность уровней  остаточной компоненты (гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 5 для этой строки ставится 1, иначе в гр. 3  ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной  знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.

Таблица 5

 

Промежуточные расчеты для оценки  адекватности модели

 

Квартал	Отклон	Точки	E(t)2	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)*E(t-1)
t	E(t)	поворота
1	2	3	4	5	6
1	0,52	хххх	0,27	-	-
2	-0,49	0	0,24	-1,01	-0,25
3	-1,26	1	1,59	-0,77	0,62
4	0,48	1	0,23	1,74	-0,60
5	-0,80	1	0,64	-1,28	-0,38
6	0,99	0	0,98	1,79	-0,79
7	2,24	1	5,02	1,25	2,22
8	-0,79	1	0,62	-3,03	-1,77
9	0,44	1	0,19	1,23	-0,35
10	-0,11	0	0,01	-0,55	-0,05
11	-0,91	1	0,83	-0,80	0,10
12	-0,85	0	0,72	0,06	0,77
13	2,78	1	7,73	3,63	-2,36
14	-0,46	0	0,21	-3,24	-1,28
15	-0,53	0	0,28	-0,07	0,24
16	-0,60	хххх	0,36	-0,07	0,32
Сумма	0,65	8	19,93	-1,12	-3,57