Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

 

Общее число  поворотных точек в нашем примере  равно р = 8.

Рассчитаем   значение q:

    Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 16   

Если  количество поворотных точек р больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р = 8,  q = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

Проверку  независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проводим двумя методами:

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона;

б) по первому  коэффициенту автокорреляции r(1).

Проверка по d-критерию Дарбина-Уотсона. Для проверки по d-критерию Дарбина-Уотсона рассчитаем значение d

В случае если полученное значение больше 2, значит имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d  уточняют, вычитая полученное значение из 4, т.е.

d = 4 – 2,33 = 1,67

Полученное (или уточненное) значение d  сравнивают с табличными значениями d1и d2.

d₁ = 1,10

d₂ =1,37

Т.к.  d₂<d<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.

В нашем случае это условие выполнено, так как 1,37 < 1,67 < 2, следовательно, уровни ряда E(t) независимы.

Проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1).

Рассчитаем r(1)  по формуле

r_табл. = 0,32

 

 

Если модуль рассчитанного  значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r(1) |  <  r_таб , то уровни ряда остатков независимы. Т.о.:

| r(1) | = -0,18  <  r_таб  = 0,32   значит уровни независимы.

Проверим соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS – критерию. Рассчитаем значение RS:

                         RS = ( E_max – E_min ) / S 

где E_max -  максимальное значение уровней ряда остатков E(t)

       E_min - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

       S - среднее квадратическое отклонение

E_max =2,78   E_min = - 1,26 ,   E_max – E_min  = 2,78-(-1,26) = 4,04

RS =4,04/1,15 = 3,51

Полученое значение  RS сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N и уровня значимости. Для N=16 и 5% уровня значимости значение RS  для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21

Так как 3,00 < 3,51 < 4,21,     полученное  значение RS попало в заданный интервал. Значит,  уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Y_p(t) на 4 квартала вперед.

Составим  прогноз на  4 квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t) определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения a(16) и b(16), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Y_p(t).  Для t=17 имеем:

Y_p(17)=Y_p(16+1)=[a(16)+1*b(16)]*F(16-+1-4)=[a(16)+1*b(16)]*F(13)=

= [ 53,79 + 1 * 0,91]* 0,88   =  48,14

Аналогично  находим Y_p(18), Y_p(19) и Y_p(20)

Y_p(18)=Y_p(16+2)=[a(16)+2*b(16)]*F(16-+2-4)=[a(16)+2*b(16)]*F(14)=

= [53,79 + 2 * 0,91] *1,08    =  60,06

Y_p(19)=Y_p(16+3)=[a(16)+3*b(16)]*F(16-+3-4)=[a(16)+3*b(16)]*F(15)=

= [53,79 + 3 * 0,91] * 1,27   = 71,78

Y_p(20)=Y_p(16+4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16-+4-4)=[a(16)+4*b(16)]*F(16)=

 = [53,79 + 4 * 0,91 ] * 0,77   = 44,22

На рис. 1 проводится сопоставление фактических  и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что  расчетные данных хорошо согласуются  с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую  среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно  выполнить на основании имеющихся  данных.

Решение.

Исходные  данные:

 

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

 

 

 

С помощью  мастера диаграмм построим гистограмму (биржевую диаграмму):

 

Экспоненциальную скользящую среднюю  рассчитываем по формуле:

EMA_t = k*C_t+(1-k)*EMA_t-1, где

k = 2/(n+1).

При I = 6,…,10, n = 5, k = 2/(n+1) = 1/3, значение EMA₅ принимается равные средней цене закрытия за 1-5 дни.

 

EMA₅ = 597,8

EMA₆ = 1/3 х 506 + (1-1/3)х 597,8 = 567,51

EMA₇ = 1/3 х 553 + (1-1/3)х 567,51 = 562,72

EMA₈ = 1/3 х 570 + (1-1/3)х 562,72 = 565,12

EMA₉ = 1/3 х 564+ (1-1/3)х 565,12 = 564,75

EMA₁₀ = 1/3 х 603+ (1-1/3)х 564,75 = 577,37

 

Расчеты занесем в таблицу 6:

 

 

 

 

Таблица 6

Дни	Цены закр.	Эксп. сред.
1	675
2	646
3	575
4	570
5	523	597,8
6	506	567,51
7	553	562,72
8	570	565,12
9	564	564,75
10	603	577,37

 

Построим  графики цены закрытия и экспоненциальной средней:

 

Для вычисления момента (МОМ) используется формула:

MOM_t=C_t – C_t-5, где

C_t – цена закрытия t-го дня.

MOM₆ = 506 – 675 = - 169

MOM₇ = 553 – 646 = - 93

MOM₈ = 570 – 575 =   -5

MOM₉ = 564- 570   =    -6

MOM₁₀ = 603 – 523 = 80

Рассчитаем  скорость изменения цен с помощью  формулы:

ROC₆ = 506/675х100 = 74,96

ROC₇ = 553/646х100 = 85,6

ROC₈ = 570/575х100 = 99,13

ROC₉ = 564/570х100 = 98,95

ROC₁₀ = 603/523х100 = 115,29

Для расчета  индекса относительной силы применяется  формула:

RSI_i=100- , где

AU – сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD – сумма убыли конечных цен за n последних дней.

Вычислим  при i = 6,…,10 формулы AU_i – сумма повышения за предшествующие 5 дней, AD_i – сумма понижения за предшествующие 5 дней.

AU₆ = 0                              AD₆ = 169    

AU₇ = 47                            AD₇ = 140

AU₈ = 64                             AD₈ = 69

AU₉ = 64                            AD₉ = 70

AU₁₀ = 103                         AD₁₀ = 23

Вычислим  индекс относительной силы:

RSI₆ = 100 – (100\ 1+(0\169)) = 0

RSI₇ = 100 – (100\ 1+(47\140)) = 25,13

RSI₈ = 100 – (100\ 1+(64\69)) = 48,12

  RSI₉ = 100 – (100\ 1+(64\70)) = 47,76

 RSI₁₀= 100 – (100\ 1+(103\23)) = 81,75

 

 

 

Расчеты занесем в таблицу 7:

Таблица 7

Дни	MOM	ROC	AU	AD	RSI
1
2
3
4
5
6	-169	74,96	0	169	0
7	-93	85,6	47	140	25,13
8	-5	99,13	64	69	48,12
9	-6	98,95	64	70	47,76
10	80	115,29	103	23	81,75

 

Построим  графики MOM,ROC,RSI:

При расчете  схоластических линий используются максимальные и минимальные цены. Рассчитаем схоластические линии по формулам:

%K_t = 100*(C_t – L₅) / (H₅ – L₅), где

%K_t – значение индекса текущего дня t,

C_t – цена закрытия текущего дня t,

L₅ и H₅ – минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

%K₅ = 100*22/217 = 10,14

%K₆ = 100*5/184 = 2,72

%K₇ = 100*53/129 = 41,09

%K₈ = 100*70/98 = 71,43

%K₉ = 100*64/98 = 65,31

%K₁₀ = 100*103/103 = 100

 

%R_t = 100*(H₅ - C_t) / (H₅ – L₅), где

%R_t – значение индекса текущего дня t.

%R₅ = 100*195/217 = 89,86

%R₆ = 100*179/184 = 97,28

%R₇ = 100*76/129 = 58,91

%R₈ = 100*28/98 = 28,57

%R₉ = 100*34/98 = 469

%R₁₀ = 100*0/103 = 0

 

%D (вычисления  проводятся при i=7,8,9,10) равен отношению  сумм  (C_t – L₅) и (H₅ – L₅) за три предшествующих дня.

%D₇ = (22+5+53)/(217+184+129)*100 = 15,09

%D₈ = (5+53+70)/(184+129+98)*100 = 31,14

%D₉ = (53+70+64)/(129+98+98)*100 = 57,54

%D₁₀ = (70+64+103)/(98+98+103)*100 = 79,26

Результаты  расчетов занесем в таблицу 8:

Таблица 8

	Ct	L5	H5	Ct-L5	H5-L5	H5-Ct	%K	%R	%D
	523	501	718	22	217	195	10,14	89,86
	506	501	685	5	184	179	2,72	97,28
	553	500	629	53	129	76	41,09	58,91	15,09
	570	500	598	70	98	28	71,43	28,57	31,14
	564	500	598	64	98	34	65,31	36,69	57,54
	603	500	603	103	103	0	100	0	79,26
Сумма	3319	3002	3831	317	829	512	290,69	311,31	183,03