Модель Хольта-Уинтерса

Содержание:

 

1. Задача № 1………………………………………………………….…...2

2. Задача № 2……………………………………………………………...13

3. Задача № 3……………………………………………………………...19

Литература………………………………………………………………..24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 1.

Задача 1.

 

Приведены поквартальные данные об объеме продаж сырой нефти в условных единицах за 4 года (всего 16 кварталов).

 

Задание:

1. Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α₁=0,3; α₂=0,6; α₃=0,3.
2. Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
• Случайности остаточной компоненты
• Независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁ = 1,10 и d₂ = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32.
• Нормальности распределения ряда остатков по критерию RS c критическими значениями от 3 до 4,21
3. Оценить точность построенной модели
4. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год
5. Построить график, на котором должны быть отражены фактические, расчетные и прогнозные значения.

 

   

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	49	48	53	43	45	51	58	45	48	55	62	45	51	58	65	55

 

 

 

 

Для проведения расчетов использовался шаблон «Модель Хольта-Уинтерса» 

 

 

Исходные данные для  моего варианта я скопировала в столбец 2, ячейки B9:B24.

 

Далее было необходимо определить значения коэффициентов а(0) и b(0), которые определяются как параметры уравнения линейной регрессии

Yрег(t) = a(0) + b(0) * t . Коэффициенты линейного уравнения можно найти через формулы:

 

 

                                                              

 

 

 Но для простоты  расчетов я воспользовалась таблицей Excel.

 

 

 

Выбираем пункт меню «Сервис»-«Анализ данных»-«Регрессия».

 

 

Жмём OK. Появится диалоговое окно инструмента «Регрессия».

 

 

В поле «Входной интервал Y» указываем диапазон ячеек B9:B16.

В поле «Входной интервал X указываем диапазон ячеек А9:А16.

После нажатия кнопки «OK» появляется новый лист с результатами проведенной регрессии.

 

 

В ячейках B17 и B18 находятся значения коэффициентов линейной модели .

 

Получаем а(0) и b(0)

 

 

В ячейках С9:С16 найдем расчетные значения по формуле

  (5).

Подставим в уравнение (5) первые 8 значений t. Получаем:

 

Y(1)рег=48,04 + 0,21 * 1 = 48,25

Y(2)рег=48,04 + 0,21 * 2 = 48,46

Y(3)рег=48,04 + 0,21 * 3 = 48,67

Y(4)рег=48,04 + 0,21 * 4 = 48,88

Y(5)рег=48,04 + 0,21 * 5 = 49,09

Y(6)рег=48,04 + 0,21 * 6 = 49,30

Y(7)рег=48,04 + 0,21 * 7 = 49,51

Y(8)рег=48,04 + 0,21 * 8 = 49,72

 

 

 

 

В ячейках F5:F8  рассчитаем значения коэффициентов сезонности F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) по формулам

 

(8)

.

Подставим значения и получим:

 

 

F(-3) = [49 / 48,25 + 45 / 49,09] / 2 = 0,97

F(-2) = [48 / 48,46 + 51 / 49,30] / 2 = 1,01

F(-1) = [53 / 48,67 + 58 / 49,51] / 2 = 1,13

F(0)  = [43 / 48,88 + 45 / 49,72] / 2 = 0,89

Для расчета коэффициента модели a(t) (коэффициент модели) в ячейку D9 введем формулу

 

   (2)

 

Для расчета коэффициента модели b(t) (коэффициент модели) в ячейку E9 введем формулу

 

 (3)

 

 

Для расчета коэффициента модели F(t) (коэффициента сезонности) в ячейку F9 введем формулу

 

(4)

 

Для расчета моделируемых значений (расчетные значения моделируемого показателя) в ячейку G9 введем формулу

 

 (1)

 

Так как все 4 значения связаны между собой, мы не можем  посчитать их в отдельности по столбцам. Введя в соответствующие ячейки выше приведенные формулы выделяем ячейки D9:G9 и копируем их вниз до 16-го квартала. В результате будут рассчитаны значения всех коэффициентов модели и модулируемые значения экономического показателя.

 

 

В столбце 8 найдем абсолютные погрешности (остатки) модели по формуле

 

   (9)

 E(t) – остатки, погрешности.

 

В столбце 9 найдем значения относительных погрешностей по формуле

 

.

Для расчету по модулю используем встроенную функцию ABS().

 

Получаем следующие данные в таблице:

 

 

В столбце 10 указываем поворотные точки. Если значение E(t) больше или меньше значений E(t-1) и E(t+1), то точка считается поворотной и в соответствующей строке столбца 10 ставится «1». Если это условие не выполняется, то ставится «0».

 

Заполним оставшиеся столбцы 11-13 в соответствии с формулами, указанными в графах этих столбцов. Получаем:

 

 

 

2.Оценить адекватность  построенной модели на основе  исследования:

 

Модель адекватна, если ряд остатков соответствует предпосылкам метода наименьших квадратов.

1. Оценка случайности ряда остатков.

Проверка проводится по критерию поворотных точек. Точка считается поворотной, если на графике она лежит либо выше, либо ниже двух соседних значений.

q = int [2 * (N – 2) / 3 – 2 * ]

 

Int[…] означет, что берется целая часть от числа.

q – это минимальное количество поворотных точек, при которых ряд остатков может считаться случайным,

N – объем выборки, количество опытов.

q = int [2 * (16 – 2) / 3 – 2 * ] = 6

q = 6 означает, что для выборки с объемом наблюдений N = 16 должно быть 6 поворотных точек, чтобы считать ряд остатков случайным.

Сравним p и q ,т.к. p (9) > q (6), то ряд остатков является случайным, а модель – адекватной.

2. Проверка ряда остатков на случайность (по критерию Дарбина – Уотсона).

d = ²/ ²

 

Если полученное значение d будет больше 2, то его уточняют и находят значение d^| = 4 – d . После этого значение d (d^| ) сравнивается с двумя табличными значениями d1 и d2.

Полученное значение d = 1,38. Это значение попадает в интервал

1,37 ( d2 ) < 1,38 ( d ) < 2. Это означает, что ряд остатков является независимым, а модель – адекватной.

 

2.3.         Проверка ряда остатков на нормальность распределения.

 

SR = (Emax – Emin) / S ,                                                                                 

 

S – среднеквадратическое отклонение.

RS = 3,56

Затем расчетное значение RS сравнивается с табличным. Если расчетное значение попадает в интервал RS1 < RS < RS2 , а в данном случае оно попадает (3 < 3,56 < 4,21), то ряд остатков считается распределенным по нормальному закону, а модель – адекватна.

 

 

 

Общий вывод: Так как все три проверки (на случайность, на независимость и на нормальное распределение) имеют положительный результат, то можно приступать к построению прогноза.

 

 

3. Оценить точность построенной модели.

Для того, чтобы оценить  точность построенной модели, необходимо рассчитать значение относительных  погрешностей.

E̅отн =

E̅отн = 4,31 %

Так как средняя относительная  погрешность E̅отн ≤ 5%, то модель считается точной.

 

4. Построить  точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год

 

Прогноз сделаем на 4 квартала вперед. Устанавливаем курсор в ячейку G25.

Введем в нее формулу для расчета Y_p(17).

Yp (t+k) = [a(t) + k * b(t)] * F * (t + k – L) , где L – период сезонности, L = 4.

 

При расчете значений Y_p(1)- Y_p(16) коэффициент k всегда будет равен 1.

При расчете значений Y_p(17)- Y_p(20) коэффициент k увеличивается на каждом шаге. Для расчета Y_p(17)- Y_p(20) используем последние значения коэффициентов а(16) и b(16). В ячейки G26, G27 и G28 введите формулы для расчета Y_p(18), Y_p(19) и Y_p(20).

Получим следующие значения:

Yp (17) = [a(16) + k * b(16)] * F * (13) = 56,98

Yp (18) = [a(16) + k * b(16)] * F * (14) = 64,75

Yp (19) = [a(16) + k * b(16)] * F * (15) = 73,04

Yp (20) = [a(16) + k * b(16)] * F * (16) = 58,39

5. Построить график, на котором должны быть отражены фактические, расчетные и прогнозные значения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 2.

 

Даны цены (максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней.

Требуется рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K, %D.

Интервал сглаживания  принять равным пяти дням. Расчеты  проводить для всех дней, для которых  эти расчеты можно выполнить  на основании имеющихся данных.

:

	Данные
	max	min	C(t)
Дни (t)	1	2	3
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763
6	795	755	795
7	812	781	800
8	854	791	853
9	875	819	820
10	820	745	756

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле:

EMAt = Ct * K + EMA t-1 * (1-K)

В графе 3 имеются данные цены закрытия. Для начала рассчитаем простую скользящую среднюю (MA). Алгоритм расчета :

1) Выбираем интервал  сглаживания n, в нашем случае n=5.

2) Вычислим коэффициент К (К = 2 / (n+1) = 2 / 6 = 0,333.

3) Вычислим MA для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму делим на их количество ( на 5 ) и результат записываем в таблицу в графу 4 и 5 за 5 день.

4) Перейдем на одну строку  вниз в графе 5. Умножим на  К данные по конечной цене, которую берем из графы 3 текущей  строки. ( для 6-ого дня это будет  795 * 0,333 = 264,735.)

5) Данные по ЕМА за предыдущий  день возьмем из предыдущей  строки графы 5 и умножить на (1- К). (Для 6-ого дня это будет  796,4 * (1-0,333) =531,1988)

6) Складываем результаты, полученные в пунктах 4 и 5. Для  6-ого дня это будет 264,735 + 531,1988 = 795,93. Полученное значение записываем в текущую строку графы 5.

7) Повторим шаги 4,5,6 до  конца таблицы.

 

Получаем:

 

 

	Данные
	max	min	C(t)	MA(5)	EMA(t)
Дни (t)	1	2	3	4	5
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763	796,40	796,40
6	795	755	795	796,17	795,93
7	812	781	800	796,71	797,29
8	854	791	853	803,75	815,86
9	875	819	820	805,56	817,24
10	820	745	756	800,60	796,83