Физическое описание явления фильтрации жидкости

Однако главная ценность таких решений была осознана позднее. Оказалось, что они представляют собой асимптотические представления решений весьма широких классов задач именно там, где детальная структура граничных и начальных условий перестает быть существенной, а эти области часто бывают наиболее интересными (например, спустя некоторое время после начала отбора из скважины, пока воронка депрессии не достигла области влияния соседней скважины и т. д.). Поэтому, зная такие решения, мы фактически получаем возможность судить, по крайней мере качественно, о поведении очень широкого класса фильтрационных движений.

Важным свойством рассматриваемых ниже решений является их инвариантность: для одних из этих решений - “автомодельных” - распределение давлений, напоров, плотностей и т. п. оказывается все время подобным самому себе, для других - перемещается как твердое тело с постоянной скоростью и т. д. Это свойство связано с особым характером задач, приводящих к таким решениям. Выполнение определенных преобразований зависимых и независимых переменных оставляет уравнения, граничные и начальные условия задачи неизменными. Как говорят в математике, эти задачи инвариантны относительно некоторой группы непрерывных преобразований. Такие задачи называются инвариантными, они рассматриваются ниже.

3.1.2. Автомодельные пологие  безнапорные движения при нулевом начальном уровне жидкости. Ниже будут рассмотрены точные решения некоторых линейных задач нестационарной фильтрации, характеризующихся нулевым начальным условием. Исследование этого класса движений представляет, помимо непосредственного, также принципиальный интерес, поскольку в подобных задачах наиболее сильно проявляется существенно нелинейный характер рассматриваемой проблемы и обнаруживаются некоторые свойства нелинейных движений, резко отличающие их от соответствующих линейных задач и неизбежно утрачиваемые при линеаризации.

Будем рассматривать безнапорные пологие фильтрационные движения в первоначально сухом грунте, имея в виду, что в силу обнаруженной Л. С. Лейбензоном аналогии все результаты непосредственно переносятся на задачи изотермической фильтрации газа. Излагаемые ниже в этом параграфе решения были получены Г. И. Баренблаттом.

Рассмотрим полубесконечный  пласт, имеющий снизу плоскую  горизонтальную непроницаемую границу - водоупор, а со стороны канала - плоскую вертикальную границу, перпендикулярную оси x и проходящую через точку x =0.

Пусть начальный напор  жидкости в пласте равен нулю, а  напор на вертикальной границе пласта изменяется по степенному закону, начиная  с исходного момента t =t₀:

 

h(0, t) = s (t-t₀)^a, (61)

 

где s > 0, а a - некоторая константа, которую будем выбирать в пределах –Ѕ<α<8. В частности, константа a может равняться нулю; в этом случае напор на границе мгновенно принимает некоторое значение s и остается постоянным.

В случае фильтрации газа сформулированная задача отвечает закачке газа в первоначально не заполненный однородный пласт постоянной мощности при изменении давления газа в начальном сечении пласта х = 0 по закону (61). Линиями равных напоров будут линии х = const, параллельные границе пласта. Таким образом, напор h(x, t) удовлетворяет уравнению

(62)

 

получающемуся из общего уравнения Буссинеска (47) для данных геометрических условий задачи, а также граничному условию (61), начальному условию и условию на бесконечности:

 

h(x, t₀) = h(¥, t) = 0. (63)

 

 Напор в некоторой точке пласта h зависит от следующих аргументов: координаты х, времени, прошедшего от начало процесса t - t₀ (в силу однородности уравнения (62) по времени напор будет зависеть только от разности t - t₀, а не от значений t и t₀ в отдельности), коэффициентов a и s и константы a. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы), получим размерности этих аргументов в следующем виде:

[a] = [h]^-1 L² T^-1;   [t - t₀] = T;   [x] = L; [s] = [h] T^-a, (64)

 

где через [h], L и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа a безразмерна. Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комбинации:

(65)

 

В силу p- теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять s (t - t₀)^a ), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (65). Имеем таким образом

 

h = s(t - t₀)^a f(x, l);   l = a/(1+a), (66)

 

 

где f - безразмерная функция, а параметр l введен вместо параметра a для удобства последующего изложения. Очевидно, что l лежит в интервале -1 <l<1. Имеем, далее, в силу (66)

 

 

 

Подставляя эти соотношения в уравнение (62) и упрощая, получаем для функции f обыкновенное дифференциальное уравнение:

(67)

 

После подстановки выражения (66) в граничное условие (61) и условие (63) получаем для функции f (x, l) краевые условия:

 

f(0, l) = 1; (68)

 

f(¥, l) = 0. (69)

 

Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями x и t. Используя закон Дарси, имеем для расхода, приходящего на единицу ширины пласта, выражение

(70)

 

Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции df²/dx.

При непрерывной функции f(x) и f ¹ 0 требование непрерывности функции df²/dx = 2fdf/dx совпадает с требованием непрерывности производной df/dx. Однако при f = 0 из непрерывности df²/dx непрерывность df/dx не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция f(x, l) имеет в точке, где f обращается в нуль, разрыв первой производной.

Условие (69) удобнее привести к другому виду. Умножим обе  части основного уравнения (62) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим

 

 

 

 

Очевидно, что dh²/dx стремится к нулю при х®¥, быстрее, чем х^-1, в противном случае h не стремилось бы к нулю при х®¥. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (63), получаем

 

Интегрируя это соотношение в пределах от t = t₀ до t и используя граничное условие (61) и представление решения (66), имеем

 

 

 

(напомним, что считаем a удовлетворяющим неравенству -1/2<a< ¥), откуда получаем искомое условие в форме

(71)

 

В интересующей нас области  изменения a и l правая часть (71) конечна и положительна.

 

3.2. ПОЛОГИЕ  БЕЗНАПОРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

С НУЛЕВЫМ НАЧАЛЬНЫМ  НАПОРОМ:

ПРЕДЕЛЬНЫЕ  АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ,

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ

 

3.2.1. Предельные  автомодельные движения. Рассмотрим теперь для того же полубесконечного пласта несколько иную задачу. Будем исследовать движение на полубесконечном интервале времени (-¥, t), поэтому начальное распределение напора по пласту несущественно.

Предположим, что на больших  расстояниях от границы пласта, т.е. при х® ¥, напор жидкости равен нулю; следовательно,

 

h(¥, t) = 0. (72)

 

Пусть, далее, напор жидкости на границе пласта возрастет со временем по экспоненциальному закону:

 

h(0, t) = h₀e^ht. (73)  

 

Напор жидкости внутри пласта h(x, t) по-прежнему удовлетворяет уравнению

(74)

 

Составим полный список аргументов, от которых зависит это  решение. Помимо координаты х и времени t, в этот список войдут также величины h₀, == и a. Тогда размерности всех определяющих параметров решения представляются в виде:

 

[x]=L;  [t]=T;   [a]=[h]^-1L²T^-1;   [h₀]=[h];   [c]=T^-1, (75)

 

где по-прежнему символы L, T и [h] означают соответственно размерности длины, времени и напора. Из пяти аргументов (75) с тремя независимыми размерностями можно составить две независимые комбинации, которые удобно взять в виде:

 

 

отсюда на основе p- теоремы решение рассматриваемой задачи будет

 

(76)

где j - безразмерная функция.

Положим теперь t = t¢ + t , где t - произвольная константа. При этом условие (72) и уравнение (74), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную t¢, так же как и через прежнюю переменную, а условие  (73) принимает вид:

 

(77)

 

Таким образом, сдвиг  во времени влияет лишь на некоторое  преобразование величины h₀, и постановка задачи оказывается по отношению к группе преобразований переноса по времени; для определения h в переменных х, t¢, a, c, h¢₀ получается та же задача, что и для определения h в переменных  (75). Стало быть, на основе соотношений (76) и (77) имеем

 

 

(78)

 

 Отсюда следует, что при любом t имеет место тождество

 

(79)

Положим теперь t = t и получим

(80)

 

Итак, функция h, зависящая от пяти аргументов (75), представляется через функцию одного аргумента:

(81)

 

Подставляя  (81) в основное уравнение  (74), получаем для функции f(x) обыкновенное дифференциальное уравнение

(82)

 

Подставляя выражение  (81) в условие на бесконечности  (72) и граничное условие  (73), имеем  граничные условия для функции f(x):

 

f(0) = 1;   f(¥) = 0. (83)

 

В силу непрерывности  напора жидкости и потока жидкости функция f(x) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата df²/dx. Мы получили, таким образом, для определения функции f(x) граничную задачу того же типа, что и граничные задачи для автомодельных решений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и соответствующую значению параметра a, равному бесконечности, т. е. l = 1. Функция f(x) = f(x, 1) тождественно равна нулю при x ³ x₀ = 1,810; передний фронт х₀ (t) перемещается, таким образом, по закону

(84)

 

а скорость его перемещения равна

(85)

 

Полученное решение  является в некотором смысле предельным для автомодельных решений, рассмотренных  выше. В самом деле, положим в формуле (66)

 

s = h₀ (at )^-a, (86)

 

где h₀ - константа размерности напора;  t - константа размерности времени, причем, очевидно, эти константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение  (66) принимает вид 

 

(87)

 

 

 

Будем неограниченно увеличивать в этом решении a при начальном моменте t₀ ® - ¥ по закону

 

t₀ = - at. (88)

 

Раскрывая неопределенность, получаем, что при a ® ¥

(89)

 

Уравнение  (67) в пределе  при a ® ¥ переходит в уравнение (82), а условия (68) и (69) совпадают с условиями (83); f(x, l) ® f(x, 1) = f(x).

Обозначая t через 1/c, получаем, что при a ® ¥ решение (87) стремится к решению (81). Поэтому решение (81) было названо предельным автомодельным решением. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта. предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автомодельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е. недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы - группы преобразований переноса по времени.

Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельные решения обычного степенного типа с произвольным показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты. Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановившихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых переменных, при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации, дают предельные автомодельные решения, полученные Гольдштейном и Станюковичем путем формальной постановки.